ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{arctg}1$

б) $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})$

в) $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$

г) $\mathrm{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$

а) Пусть $\operatorname{arctg} 1 = t$, тогда:
$\operatorname{tg} t = 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$
Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

б) Пусть $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = t$, тогда:
$\operatorname{tg} t = -\sqrt{3}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$
$\operatorname{tg}(-t) = \sqrt{3};$
$-t = \frac{\pi}{3};$
Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$.

в) Пусть $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = t$, тогда:
$\operatorname{tg} t = \sqrt{3}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$
Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

г) Пусть $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = t$, тогда:
$\operatorname{tg} t = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$
$\operatorname{tg}(-t) = \frac{1}{\sqrt{3}};$
$-t = \frac{\pi}{6};$
Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

а) Найти:

$$\operatorname{arctg} 1$$

Шаг 1: Обозначим значение

Пусть:

$$\operatorname{arctg} 1 = t$$

Это значит, что $t$ — такое число, тангенс которого равен 1.
То есть:

$$\operatorname{tg} t = 1$$

Шаг 2: Область значений арктангенса

$$\operatorname{arctg} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Это значит, что искомое значение $t$ должно лежать в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (не включая границы).

Шаг 3: Найдём угол, тангенс которого равен 1

Рассматриваем таблицу значений тангенсов:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

И этот угол $\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, т.е. подходит по диапазону.

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{4}$$

б) Найти:

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$$

Шаг 1: Обозначим значение

Пусть:

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = t \Rightarrow \operatorname{tg} t = -\sqrt{3}$$

Шаг 2: Область значений арктангенса

$$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 3: Найдём угол, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$

Из таблицы значений:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$$

Значит:

$$t = -\frac{\pi}{3}$$

Дополнительное обоснование:

Проверим:

$$\operatorname{tg}(-t) = \sqrt{3} \Rightarrow -t = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{3}$$

Ответ:

$$t = -\frac{\pi}{3}$$

в) Найти:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3}$$

Шаг 1: Обозначим значение

Пусть:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = t \Rightarrow \operatorname{tg} t = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Область значений арктангенса

$$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 3: Найдём угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$

По таблице:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$$

Этот угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит допустимому интервалу.

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{3}$$

г) Найти:

$$\operatorname{arctg}\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$$

Шаг 1: Обозначим значение

Пусть:

$$\operatorname{arctg}\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = t \Rightarrow \operatorname{tg} t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Область значений

$$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 3: Используем знание о тангенсах

Из таблицы:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Значит:

$$t = -\frac{\pi}{6}$$

Дополнительная проверка через обратную функцию:

$$\operatorname{tg}(-t) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow -t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{6}$$

Ответ:

$$t = -\frac{\pi}{6}$$$$