ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) $\mathrm{arcctg}1$

в) $\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) $\mathrm{arcctg}0$

а) Пусть $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t$, тогда:
$\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$
Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\operatorname{arcctg} 1 = t$, тогда:
$\operatorname{ctg} t = 1, \quad 0 \leq t \leq \pi;$
Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

в) Пусть $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t$, тогда:
$\pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t;$
$t = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$
Ответ: $t = \frac{2\pi}{3}$.

г) Пусть $\operatorname{arcctg} 0 = t$, тогда:
$\operatorname{ctg} t = 0, \quad 0 \leq t \leq \pi;$
Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

а) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Пусть

$$\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = t$$

Это значит, что

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Область значений arcctg:
По определению, арккотангенс $\operatorname{arcctg} x$ принимает значения

$$t \in (0; \pi)$$

Включая границы: $0 \leq t \leq \pi$

Теперь найдём такой угол $t$, для которого $\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вспомним, что

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\tan t}$$

Поэтому если

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \text{то} \quad \tan t = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Тогда ищем угол $t$, для которого

$$\tan t = \sqrt{3}$$

По таблице значений тангенса:

$$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$

Значит,

$$t = \frac{\pi}{3}$$

Угол находится в допустимом промежутке $[0; \pi]$, следовательно, подходит.

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{3}$$

б) $\operatorname{arcctg} 1$

Пусть

$$\operatorname{arcctg} 1 = t$$

Это значит, что

$$\operatorname{ctg} t = 1$$

Область значений:

$$0 \leq t \leq \pi$$

Вспомним, что

$$\operatorname{ctg} t = 1 \Rightarrow \tan t = 1$$

Найдём такой угол $t$, для которого

$$\tan t = 1$$

По таблице значений:

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1 \Rightarrow \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$$

Угол $\frac{\pi}{4}$ лежит в допустимом промежутке.

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{4}$$

в) $\pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Сначала найдём

$$\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Это уже было в пункте а):

$$\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}$$

Теперь подставим:

$$t = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \pi — \frac{\pi}{3}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\pi = \frac{3\pi}{3} \Rightarrow \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Ответ:

$$t = \frac{2\pi}{3}$$

г) $\operatorname{arcctg} 0$

Пусть

$$\operatorname{arcctg} 0 = t \Rightarrow \operatorname{ctg} t = 0$$

Вспомним, что

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Чтобы дробь была равна 0, числитель (cos t) должен быть равен 0, а знаменатель (sin t) ≠ 0.

$\cos t = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}$
(это единственное значение на отрезке $[0; \pi]$, где косинус равен нулю)

Проверка:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$$

Ответ:

$$t = \frac{\pi}{2}$$