ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\mathrm{arctg}(-\sqrt{3}))$

б) $tg(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$

в) $\cos (\mathrm{arctg}0)$

г) $ctg(\mathrm{arctg}(-1))$

а) $\sin \left( \arctg(-\sqrt{3}) \right) = \sin \left( -\arctg \sqrt{3} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $tg \left( \arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right) = tg \left( -\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -tg \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $\cos (\arctg 0) = \cos 0 = 1$;
Ответ: $1$.

г) $ctg \left( \arctg(-1) \right) = ctg \left( -\arctg 1 \right) = ctg \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -ctg \frac{\pi}{4} = -1$;
Ответ: $-1$.

а) $\sin \left( \arctg(-\sqrt{3}) \right)$

Шаг 1: Вспомним, что $\arctg(x)$ — это такая функция, которая возвращает угол $\alpha$, для которого $\tg(\alpha) = x$, при этом $\alpha \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, то есть угол находится в IV или I четверти.

Шаг 2: Найдём угол $\alpha = \arctg(-\sqrt{3})$. Мы знаем, что:

$$\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$$

Значит:

$$\arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

Шаг 3: Теперь найдём:

$$\sin\left(\arctg(-\sqrt{3})\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 4: Используем свойство: $\sin(-x) = -\sin(x)$, тогда:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 5: Из таблицы значений тригонометрических функций:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 6: Подставим:

$$-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\tg \left( \arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right)$

Шаг 1: Пусть $x = \arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, тогда $\tg(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 2: Мы ищем:

$$\tg\left(\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)$$

Поскольку $\tg(\arctg(x)) = x$ для любого действительного $x$, мы можем сразу записать:

$$\tg\left(\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Дополнительное пояснение:
Если бы мы хотели найти угол $\theta$, такой что $\tg(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, мы бы взяли:

$$\theta = -\frac{\pi}{6},\quad \text{так как } \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

И тогда:

$$\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) $\cos(\arctg(0))$

Шаг 1: Найдём угол $\alpha = \arctg(0)$. Это значит:

$$\tg(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha = 0$$

(потому что $\tg(0) = 0$ и 0 находится в допустимом интервале для $\arctg$: от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$)

Шаг 2: Подставим:

$$\cos(\arctg(0)) = \cos(0)$$

Шаг 3: Из таблицы:

$$\cos(0) = 1$$

Ответ: $1$

г) $\ctg \left( \arctg(-1) \right)$

Шаг 1: Пусть $x = \arctg(-1)$. Тогда $\tg(x) = -1$

Шаг 2: Найдём значение угла:

$$\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \Rightarrow \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Теперь найдём:

$$\ctg\left(\arctg(-1)\right) = \ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 4: Используем свойство: $\ctg(-x) = -\ctg(x)$, тогда:

$$\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 5: Из таблицы:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow -1$$

Ответ: $-1$