ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}1)$

б) $\sin (\mathrm{arcctg}\sqrt{3})$

в) $\cos (\mathrm{arcctg}(-1))$

г) $\mathrm{ctg}(2\mathrm{arcctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}))$

а) $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} 1) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$;

Ответ: 1.

б) $\sin (\operatorname{arcctg} \sqrt{3}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\cos (\operatorname{arcctg}(-1)) = \cos (\pi — \operatorname{arcctg} 1) = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\mathrm{ctg}(2\mathrm{arcctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}))=\mathrm{ctg}2(\pi -\mathrm{arcctg}\frac{1}{\sqrt{3}})=\mathrm{ctg}2(\pi -\frac{\pi }{3})=\mathrm{ctg}(2\cdot \frac{2\pi }{3})=$

$\operatorname{ctg} \left( 2 \operatorname{arcctg} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right) = \operatorname{ctg} 2 \left( \pi — \operatorname{arcctg} \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \operatorname{ctg} 2 \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \operatorname{ctg} \left( 2 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \frac{\cos \frac{4\pi}{3}}{\sin \frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} : \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} 1)$

Шаг 1:
Пусть $\theta = \operatorname{arcctg} 1$. Это означает:

$$\ctg(\theta) = 1$$

Шаг 2:
Найдём угол, при котором $\ctg(\theta) = 1$.
Из таблицы значений:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3:
Теперь найдём $\tg(\theta) = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Шаг 4:
Из таблицы:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Ответ: $1$

б) $\sin(\operatorname{arcctg} \sqrt{3})$

Шаг 1:
Пусть $\theta = \operatorname{arcctg} \sqrt{3}$, значит:

$$\ctg(\theta) = \sqrt{3} \Rightarrow \tg(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2:
Из таблицы:

$$\tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 3:
Теперь найдём:

$$\sin(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 4:
Из таблицы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\cos(\operatorname{arcctg}(-1))$

Шаг 1:
Пусть $\theta = \operatorname{arcctg}(-1)$.
Значит:

$$\ctg(\theta) = -1 \Rightarrow \tg(\theta) = -1$$

Шаг 2:
Рассмотрим положительное значение:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3:
Но поскольку $\operatorname{arcctg}(-1)$ — это угол во второй четверти (значения arcctg определяются на интервале $(0, \pi)$), то:

$$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \operatorname{arcctg}(1) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 4:
Теперь найдём:

$$\cos\left(\operatorname{arcctg}(-1)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$$

Шаг 5:
Из таблицы:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\operatorname{ctg} \left( 2 \cdot \operatorname{arcctg} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right)$

Шаг 1:
Пусть $\theta = \operatorname{arcctg}\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$, тогда:

$$\ctg(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \tg(\theta) = -\sqrt{3}$$

Шаг 2:
Рассмотрим положительный аналог:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \operatorname{arcctg}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 3:
Значит:

$$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 4:
Теперь найдём:

$$\operatorname{ctg}\left( 2 \cdot \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right) = \operatorname{ctg}(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{ctg}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$

Шаг 5:
Используем формулу:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Шаг 6:
Найдём значения:

$$\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 7:
Подставим:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 8:
Упрощаем:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$