ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \arcsin x + \arctg x$;

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2}$;

в) $y = \arctg \frac{1}{x} — \arccos (2x — 0,5)$;

г) $y = \arcsin(x^2 — 1) + \arctg 2x + \operatorname{arcctg}(x — 1)$

Найти область определения функции:

а) $y = \arcsin x + \arctg x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \in \mathbb{R};$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sqrt{x} \in \mathbb{R};$$ $$x \geq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1;$$ $$-2 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [0; 2]$.

в) $y = \arctg \frac{1}{x} — \arccos (2x — 0,5)$;

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{1}{x} \in \mathbb{R};$$ $$x \neq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 2x — 0,5 \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq 2x \leq \frac{3}{2};$$ $$-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4};$$

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left(0; \frac{3}{4}\right]$.

г) $y = \arcsin(x^2 — 1) + \arctg 2x + \operatorname{arcctg}(x — 1)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x^2 — 1 \leq 1;$$ $$0 \leq x^2 \leq 2;$$ $$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x \in \mathbb{R};$$ $$x \in \mathbb{R};$$

Выражение имеет смысл при:

$$(x — 1) \in \mathbb{R};$$ $$x \in \mathbb{R};$$

Ответ: $x \in \left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]$.

а) $y = \arcsin x + \arctg x$

Рассмотрим первое выражение $\arcsin x$:

• Функция $\arcsin x$ определена на отрезке $[-1, 1]$, так как для значений $x$ вне этого интервала значение функции $\arcsin x$ не существует. То есть:

  $$-1 \leq x \leq 1$$

Рассмотрим второе выражение $\arctg x$:

• Функция $\arctg x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ (для всех вещественных чисел), так как арктангенс существует для любого вещественного значения $x$.

Объединение условий:

• Поскольку $\arcsin x$ ограничивает область значений $x$ интервалом $[-1, 1]$, а $\arctg x$ не накладывает ограничений на $x$, итоговая область определения функции $y = \arcsin x + \arctg x$ будет ограничена только областью определения $\arcsin x$, то есть:

  $$x \in [-1; 1]$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2}$

Рассмотрим первое выражение $\operatorname{arcctg} \sqrt{x}$:

• Функция $\operatorname{arcctg} z$ (обратная котангенс) определена для всех $z \in \mathbb{R}$, но для $\sqrt{x}$ важно, чтобы $x \geq 0$, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. То есть:

  $$x \geq 0$$

Рассмотрим второе выражение $\arccos \frac{x}{2}$:

• Функция $\arccos z$ (обратный косинус) определена для значений $z \in [-1, 1]$, то есть:

  $$-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1$$

• Умножив обе части неравенства на 2, получаем:

  $$-2 \leq x \leq 2$$

Объединение условий:

• Для того чтобы обе функции были определены, нам нужно удовлетворить одновременно два условия:
  1. $x \geq 0$ (для $\sqrt{x}$),
  2. $-2 \leq x \leq 2$ (для $\arccos \frac{x}{2}$).
• Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2}$ будет пересечением этих двух областей:

  $$x \in [0; 2]$$

Ответ: $x \in [0; 2]$.

в) $y = \arctg \frac{1}{x} — \arccos (2x — 0,5)$

Рассмотрим первое выражение $\arctg \frac{1}{x}$:

• Функция $\arctg z$ определена для всех $z \in \mathbb{R}$, однако выражение $\frac{1}{x}$ имеет смысл только при $x \neq 0$, так как деление на ноль невозможно. Таким образом:

  $$x \neq 0$$

Рассмотрим второе выражение $\arccos (2x — 0,5)$:

• Функция $\arccos z$ определена для $z \in [-1, 1]$, то есть:

  $$-1 \leq 2x — 0,5 \leq 1$$

• Решим это неравенство относительно $x$:
  • При $2x — 0,5 \geq -1$:

    $$2x \geq -0,5 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{1}{4}$$

  • При $2x — 0,5 \leq 1$:

    $$2x \leq 1,5 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{3}{4}$$

• Таким образом, для второго выражения $\arccos (2x — 0,5)$ область определения:

  $$-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}$$

Объединение условий:

• Для того чтобы обе функции были определены, необходимо, чтобы $x \neq 0$ (для $\arctg \frac{1}{x}$) и $-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}$ (для $\arccos (2x — 0,5)$).
• Исключаем $x = 0$, получаем, что область определения будет:

  $$x \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left(0; \frac{3}{4}\right]$$

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left(0; \frac{3}{4}\right]$.

г) $y = \arcsin(x^2 — 1) + \arctg 2x + \operatorname{arcctg}(x — 1)$

Рассмотрим первое выражение $\arcsin(x^2 — 1)$:

• Функция $\arcsin z$ определена для $z \in [-1, 1]$, то есть:

  $$-1 \leq x^2 — 1 \leq 1$$

• Решим это неравенство относительно $x$:
  • При $x^2 — 1 \geq -1$:

    $$x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R}$$

  • При $x^2 — 1 \leq 1$:

    $$x^2 \leq 2 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$$

• Таким образом, для первого выражения область определения:

  $$x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$$

Рассмотрим второе выражение $\arctg 2x$:

• Функция $\arctg z$ определена для всех $z \in \mathbb{R}$, и, следовательно, $\arctg 2x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим третье выражение $\operatorname{arcctg}(x — 1)$:

• Функция $\operatorname{arcctg} z$ определена для всех $z \in \mathbb{R}$, и, следовательно, $\operatorname{arcctg}(x — 1)$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Объединение условий:

• Поскольку для $\arctg 2x$ и $\operatorname{arcctg}(x — 1)$ нет ограничений, а для $\arcsin(x^2 — 1)$ область определения ограничена $x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, итоговая область определения функции:

  $$x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$$

Ответ: $x \in \left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]$.

Итоговые ответы:

а) $x \in [-1; 1]$

б) $x \in [0; 2]$

в) $x \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left(0; \frac{3}{4}\right]$

г) $x \in \left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]$