ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на четность:

а) $y = \frac{\arctg x}{x^4}$;

б) $y = \sin^2 x + x \cdot \arctg x$;

в) $y = \arcsin x + \arcctg x$;

г) $y=2\mathrm{arcctg}x+x^5-3\arcsin 2x$

а) $y = \frac{\arctg x}{x^4}$;

$y(-x) = \frac{\arctg(-x)}{(-x)^4} = \frac{-\arctg x}{x^4} = -y(x);$

Ответ: нечетная.

б) $y = \sin^2 x + x \cdot \arctg x$;

$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x) \cdot \arctg(-x);$

$y(-x) = (-\sin x)^2 — x \cdot (-\arctg x);$

$y(-x) = \sin^2 x + x \cdot \arctg x = y(x);$

Ответ: четная.

в) $y = \arcsin x + \arcctg x$;

$y(-x) = \arcsin(-x) + \arcctg(-x);$

$y(-x) = -\arcsin x + \pi — \arcctg x;$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = 2 \arcctg x + x^5 — 3 \arcsin 2x$;

$y(-x) = 2 \arcctg(-x) + (-x)^5 — 3 \arcsin(-2x);$

$y(-x) = 2 (\pi — \arcctg x) — x^5 + 3 \arcsin 2x;$

$y(-x) = 2\pi — 2\arcctg x — x^5 + 3 \arcsin 2x;$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

а) $y = \frac{\arctg x}{x^4}$

Что такое четность и нечетность функций?

• Функция называется четной, если $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ в области определения.
• Функция называется нечетной, если $y(-x) = -y(x)$ для всех $x$ в области определения.

Найдем $y(-x)$:

Исходная функция:

$$y = \frac{\arctg x}{x^4}$$

Подставляем $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = \frac{\arctg(-x)}{(-x)^4}$$

Теперь упростим:

• $(-x)^4 = x^4$, так как степень четная, и она не меняет знак.
• $\arctg(-x) = -\arctg(x)$, так как арктангенс нечетен.

Таким образом:

$$y(-x) = \frac{-\arctg x}{x^4} = -\frac{\arctg x}{x^4} = -y(x)$$

Вывод:

• Так как $y(-x) = -y(x)$, то функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $y = \sin^2 x + x \cdot \arctg x$

Найдем $y(-x)$:

Исходная функция:

$$y = \sin^2 x + x \cdot \arctg x$$

Подставляем $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x) \cdot \arctg(-x)$$

Разберемся по частям:

• $\sin(-x) = -\sin(x)$, но так как мы возводим в квадрат, то $\sin^2(-x) = \sin^2(x)$.
• $\arctg(-x) = -\arctg(x)$, так как арктангенс нечетен.

Тогда:

$$y(-x) = \sin^2 x — x \cdot (-\arctg x) = \sin^2 x + x \cdot \arctg x = y(x)$$

Вывод:

• Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y = \arcsin x + \arcctg x$

Найдем $y(-x)$:

Исходная функция:

$$y = \arcsin x + \arcctg x$$

Подставляем $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = \arcsin(-x) + \arcctg(-x)$$

Разберемся по частям:

• $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, так как арксинус нечетен.
• $\arcctg(-x) = \pi — \arcctg(x)$, так как обратный котангенс нечётный.

Тогда:

$$y(-x) = -\arcsin x + \pi — \arcctg x$$

Вывод:

• Мы видим, что $y(-x) = -\arcsin x + \pi — \arcctg x$, что не равно $y(x)$ и не равно $-y(x)$. Это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = 2 \arcctg x + x^5 — 3 \arcsin 2x$

Найдем $y(-x)$:

Исходная функция:

$$y = 2 \arcctg x + x^5 — 3 \arcsin 2x$$

Подставляем $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = 2 \arcctg(-x) + (-x)^5 — 3 \arcsin(-2x)$$

Разберемся по частям:

• $\arcctg(-x) = \pi — \arcctg(x)$, так как обратный котангенс нечётный.
• $(-x)^5 = -x^5$, так как степень нечетная.
• $\arcsin(-2x) = -\arcsin(2x)$, так как арксинус нечётный.

Тогда:

$$y(-x) = 2 (\pi — \arcctg x) — x^5 + 3 \arcsin(2x)$$

Упростим:

$$y(-x) = 2\pi — 2 \arcctg x — x^5 + 3 \arcsin 2x$$

Вывод:

• Мы видим, что $y(-x) = 2\pi — 2 \arcctg x — x^5 + 3 \arcsin 2x$, что не равно $y(x)$ и не равно $-y(x)$. Это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

Итоговые ответы:

а) нечетная

б) четная

в) ни четная, ни нечетная

г) ни четная, ни нечетная