ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$;

б) $\arcsin 1,5$;

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$;

г) $\arcsin (4-\sqrt{20})$

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$;
$-1 < -\frac{2}{3} < 1$;
Ответ: да.

б) $\arcsin 1,5$;
$1,5 > 1$;
Ответ: нет.

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$;
$16 < 20$;
$4 < \sqrt{20}$;
$4 — \sqrt{20} < 0$;
$3 — \sqrt{20} < -1$;
Ответ: нет.

г) $\arcsin(4 — \sqrt{20})$;
$16 < 20 < 25$;
$4 < \sqrt{20} < 5$;
$-5 < -\sqrt{20} < -4$;
$-1 < 4 — \sqrt{20} < 0$;
Ответ: да.

Функция $\arcsin(x)$ определена на промежутке $[-1, 1]$, то есть аргумент $x$ должен быть в пределах от -1 до 1. Если $x$ выходит за пределы этого диапазона, то выражение $\arcsin(x)$ не существует в области действительных чисел.

Теперь давайте рассмотрим каждое выражение.

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$

Мы имеем выражение $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$.

Аргумент $-\frac{2}{3}$ должен быть в пределах $[-1, 1]$, поскольку функция $\arcsin(x)$ определена именно для этих значений.

$$-1 < -\frac{2}{3} < 1$$

Это условие выполняется, так как $-\frac{2}{3}$ лежит внутри интервала $[-1, 1]$.

Следовательно, выражение имеет смысл, и его результат существует в области действительных чисел.

Ответ: да.

б) $\arcsin(1,5)$

Мы имеем выражение $\arcsin(1,5)$.

Для того, чтобы $\arcsin(x)$ существовало, аргумент $x$ должен лежать в интервале $[-1, 1]$.

$$1,5 > 1$$

Это условие нарушается, так как $1,5$ больше 1.

Таким образом, выражение $\arcsin(1,5)$ не существует, поскольку значение аргумента выходит за пределы области определения функции.

Ответ: нет.

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$

Рассмотрим выражение $\arcsin(3 — \sqrt{20})$.

Прежде чем решить, нужно разобраться, что такое $\sqrt{20}$.

$$\sqrt{20} \approx 4,472$$

Теперь вычислим $3 — \sqrt{20}$:

$$3 — \sqrt{20} = 3 — 4,472 \approx -1,472$$

Далее, проверим, попадает ли $-1,472$ в интервал $[-1, 1]$.

$$-1,472 < -1$$

Это условие нарушается, так как $-1,472$ меньше -1.

Следовательно, аргумент не лежит в пределах области определения функции $\arcsin$, и выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

Ответ: нет.

г) $\arcsin(4 — \sqrt{20})$

Рассмотрим выражение $\arcsin(4 — \sqrt{20})$.

Как и в предыдущем пункте, нам нужно вычислить $\sqrt{20}$, что приблизительно равно 4,472.

Теперь вычислим $4 — \sqrt{20}$:

$$4 — \sqrt{20} = 4 — 4,472 \approx -0,472$$

Проверим, попадает ли $-0,472$ в интервал $[-1, 1]$.

$$-1 < -0,472 < 1$$

Это условие выполняется, так как $-0,472$ лежит внутри интервала $[-1, 1]$.

Следовательно, выражение имеет смысл, и его результат существует в области действительных чисел.

Ответ: да.

Итоговые ответы:

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$: да

б) $\arcsin(1,5)$: нет

в) $\arcsin(3 — \sqrt{20})$: нет

г) $\arcsin(4 — \sqrt{20})$: да