ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\cos \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = \cos t;$$

б)

$$\tg \left( \arcsin 0,6 \right) = \tg t;$$

в)

$$\cos \left( \arcsin \frac{8}{17} \right) = \cos t;$$

г)

$$\mathrm{ctg}(\arcsin (-0,8))=\mathrm{ctg}t$$

а)

$$\cos \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = \cos t;$$

Число $t$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = + \sqrt{1 — \sin^2 \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

б)

$$\tg \left( \arcsin 0,6 \right) = \tg t;$$

Число $t$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos \left( \arcsin 0,6 \right) = + \sqrt{1 — \sin^2 \left( \arcsin 0,6 \right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — 0,6^2} = \sqrt{1 — 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8;$$

Значение тангенса:

$$\tg \left( \arcsin 0,6 \right) = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в)

$$\cos \left( \arcsin \frac{8}{17} \right) = \cos t;$$

Число $t$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos \left( \arcsin \frac{8}{17} \right) = + \sqrt{1 — \sin^2 \left( \arcsin \frac{8}{17} \right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — \left( \frac{8}{17} \right)^2} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17};$$

Ответ: $\frac{15}{17}$.

г)

$$\ctg \left( \arcsin(-0,8) \right) = \ctg t;$$

Число $t$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos \left( \arcsin(-0,8) \right) = + \sqrt{1 — \sin^2 \left( \arcsin(-0,8) \right)};$$ $$\cos t = \sqrt{1 — (-0,8)^2} = \sqrt{1 — 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6;$$

Значение котангенса:

$$\ctg \left( \arcsin(-0,8) \right) = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

а) Найти $\cos \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right)$

Рассмотрим функцию арксинус:

$$\theta = \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$$

Значит, $\sin \theta = -\frac{5}{13}$.

Определим диапазон для угла $\theta$:
$\arcsin$ принимает значения только в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$, то есть угол $\theta$ находится в первой или четвертой четверти. Поскольку $\sin \theta = -\frac{5}{13}$, это значит, что угол $\theta$ находится в четвертой четверти, так как синус отрицателен.

Найдем значение косинуса:
Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

Подставляем значение $\sin \theta = -\frac{5}{13}$:

$$\left( -\frac{5}{13} \right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$ $$\frac{25}{169} + \cos^2 \theta = 1$$ $$\cos^2 \theta = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ $$\cos \theta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Поскольку угол $\theta$ находится в четвертой четверти, то $\cos \theta$ будет положительным. Таким образом:

$$\cos \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = \frac{12}{13}$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

б) Найти $\tg \left( \arcsin 0,6 \right)$

Рассмотрим функцию арксинус:

$$\theta = \arcsin 0,6$$

Это значит, что $\sin \theta = 0,6$.

Определим диапазон для угла $\theta$:
Как и в предыдущем случае, $\arcsin$ принимает значения в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$. Так как $\sin \theta = 0,6$, угол $\theta$ находится в первой четверти, где и синус, и косинус положительны.

Найдем значение косинуса:
Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

Подставляем значение $\sin \theta = 0,6$:

$$0,6^2 + \cos^2 \theta = 1$$ $$0,36 + \cos^2 \theta = 1$$ $$\cos^2 \theta = 1 — 0,36 = 0,64$$ $$\cos \theta = \sqrt{0,64} = 0,8$$

Поскольку угол $\theta$ находится в первой четверти, то $\cos \theta$ положителен.

Найдем значение тангенса:
Тангенс угла $\theta$ определяется как:

$$\tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Подставляем значения:

$$\tg \theta = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Найти $\cos \left( \arcsin \frac{8}{17} \right)$

Рассмотрим функцию арксинус:

$$\theta = \arcsin \frac{8}{17}$$

Это значит, что $\sin \theta = \frac{8}{17}$.

Определим диапазон для угла $\theta$:
Как и ранее, $\theta$ находится в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$. Поскольку $\sin \theta = \frac{8}{17}$ положительное, угол $\theta$ находится в первой четверти.

Найдем значение косинуса:
Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

Подставляем значение $\sin \theta = \frac{8}{17}$:

$$\left( \frac{8}{17} \right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$ $$\frac{64}{289} + \cos^2 \theta = 1$$ $$\cos^2 \theta = 1 — \frac{64}{289} = \frac{289}{289} — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$$ $$\cos \theta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$$

Поскольку угол $\theta$ находится в первой четверти, то $\cos \theta$ положителен.

Ответ: $\frac{15}{17}$.

г) Найти $\ctg \left( \arcsin(-0,8) \right)$

Рассмотрим функцию арксинус:

$$\theta = \arcsin(-0,8)$$

Это значит, что $\sin \theta = -0,8$.

Определим диапазон для угла $\theta$:
Как и в предыдущих случаях, $\theta$ находится в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$. Поскольку $\sin \theta = -0,8$, угол $\theta$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Найдем значение косинуса:
Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

Подставляем значение $\sin \theta = -0,8$:

$$(-0,8)^2 + \cos^2 \theta = 1$$ $$0,64 + \cos^2 \theta = 1$$ $$\cos^2 \theta = 1 — 0,64 = 0,36$$ $$\cos \theta = \sqrt{0,36} = 0,6$$

Поскольку угол $\theta$ находится в четвертой четверти, то $\cos \theta$ положителен.

Найдем значение котангенса:
Котангенс угла $\theta$ определяется как:

$$\ctg \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Подставляем значения:

$$\ctg \theta = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

Итоговые ответы:

а) $\frac{12}{13}$

б) $\frac{3}{4}$

в) $\frac{15}{17}$

г) $-\frac{3}{4}$