ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\arccos \frac{3}{5})$

б) $\mathrm{tg}(\arccos (-\frac{5}{13}))$

в) $\sin (\arccos (-0.8))$

г) $\mathrm{ctg}(\arccos \frac{4}{5})$$$

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \sin t$;

Число $t$ находится в I или II четверти:

$$0 \leq t \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = +\sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\frac{3}{5}\right)};$$ $$\sin t = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) $\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ находится в I или II четверти:

$$0 \leq t \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = +\sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)};$$ $$\sin t = \sqrt{1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

Значение тангенса:

$$\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13} : \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{5};$$

Ответ: $-\frac{12}{5}$.

в) $\sin(\arccos(-0.8)) = \sin t$;

Число $t$ находится в I или II четверти:

$$0 \leq t \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin(\arccos(-0.8)) = +\sqrt{1 — \cos^2(\arccos(-0.8))};$$ $$\sin t = \sqrt{1 — (-0.8)^2} = \sqrt{1 — 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6;$$

Ответ: $0.6$.

г) $\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \operatorname{tg} t$;

Число $t$ находится в I или II четверти:

$$0 \leq t \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = +\sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\frac{4}{5}\right)};$$ $$\sin t = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

Значение котангенса:

$$\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5} : \frac{3}{5} = \frac{4}{3};$$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \sin t$

1. Рассмотрим арккосинус:

Арккосинус $\arccos x$ — это угол $t$, для которого $\cos t = x$. В данном случае:

$$\cos t = \frac{3}{5}.$$

Значит, мы ищем синус угла $t$, который связан с косинусом через основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Поскольку $\cos t = \frac{3}{5}$, подставим это значение в тождество:

$$\sin^2 t + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1,$$ $$\sin^2 t + \frac{9}{25} = 1.$$

Теперь выразим $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$$

Таким образом:

$$\sin t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Поскольку угол $t$ находится в интервале $[0, \pi]$ (так как арккосинус всегда возвращает значения в этом интервале) и $\sin t$ всегда положителен в этом интервале, то:

$$\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}.$$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) $\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \operatorname{tg} t$

1. Рассмотрим арккосинус:

Арккосинус $\arccos x$ — это угол $t$, для которого $\cos t = x$. В данном случае:

$$\cos t = -\frac{5}{13}.$$

Нам нужно найти тангенс угла $t$. Для этого сначала вычислим значение синуса с использованием основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставим $\cos t = -\frac{5}{13}$:

$$\sin^2 t + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1,$$ $$\sin^2 t + \frac{25}{169} = 1.$$

Выразим $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$$

Таким образом:

$$\sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Поскольку $\arccos$ возвращает угол в интервале $[0, \pi]$, то угол $t$ находится в второй четверти (так как косинус отрицателен), и в этой четверти синус положителен.

2. Теперь вычислим тангенс:

Тангенс угла $t$ равен:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Подставим найденные значения $\sin t = \frac{12}{13}$ и $\cos t = -\frac{5}{13}$:

$$\tg t = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}.$$

Ответ: $-\frac{12}{5}$.

в) $\sin(\arccos(-0.8)) = \sin t$

1. Рассмотрим арккосинус:

Арккосинус $\arccos x$ — это угол $t$, для которого $\cos t = x$. В данном случае:

$$\cos t = -0.8.$$

Нам нужно найти синус угла $t$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставим $\cos t = -0.8$:

$$\sin^2 t + (-0.8)^2 = 1,$$ $$\sin^2 t + 0.64 = 1.$$

Теперь выразим $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — 0.64 = 0.36.$$

Таким образом:

$$\sin t = \sqrt{0.36} = 0.6.$$

Поскольку $\arccos$ возвращает угол в интервале $[0, \pi]$, то угол $t$ находится в третьей или второй четверти, где синус всегда положителен.

Ответ: $0.6$.

г) $\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \operatorname{tg} t$

1. Рассмотрим арккосинус:

Арккосинус $\arccos x$ — это угол $t$, для которого $\cos t = x$. В данном случае:

$$\cos t = \frac{4}{5}.$$

Нам нужно найти котангенс угла $t$. Для этого сначала вычислим значение синуса с использованием основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставим $\cos t = \frac{4}{5}$:

$$\sin^2 t + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1,$$ $$\sin^2 t + \frac{16}{25} = 1.$$

Выразим $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$

Таким образом:

$$\sin t = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.$$

Поскольку $\arccos$ возвращает угол в интервале $[0, \pi]$, то угол $t$ находится в первой четверти, где синус положителен.

2. Теперь вычислим котангенс:

Котангенс угла $t$ равен:

$$\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Подставим найденные значения $\cos t = \frac{4}{5}$ и $\sin t = \frac{3}{5}$:

$$\ctg t = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}.$$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Итоговые ответы:

а) $\frac{4}{5}$

б) $-\frac{12}{5}$

в) $0.6$

г) $\frac{4}{3}$