ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а)

$$\sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}};$$

б)

$$\tg(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}};$$

в)

$$\sin(\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}};$$

г)

$$\mathrm{tg}(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$

а)

$$\sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}};$$

Число $\arctg x$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos(\arctg x) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2(\arctg x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}};$$

Значение синуса:

$$\sin(\arctg x) = \tg(\arctg x) \cdot \cos(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}};$$

Что и требовалось доказать.

б)

$$\tg(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}};$$

Число $\arcsin x$ находится в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos(\arcsin x) = +\sqrt{1 — \sin^2(\arcsin x)} = \sqrt{1 — x^2};$$

Значение тангенса:

$$\tg(\arcsin x) = \frac{\sin(\arcsin x)}{\cos(\arcsin x)} = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}};$$

Что и требовалось доказать.

в)

$$\sin(\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}};$$

Число $\arcctg x$ находится в I или II четверти:

$$0 < \arcctg x < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin(\arcctg x) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2(\arcctg x)}} = \sqrt{\frac{1}{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}};$$

Что и требовалось доказать.

г)

$$\tg(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x};$$

Число $\arccos x$ находится в I или II четверти:

$$0 \leq \arccos x \leq \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin(\arccos x) = +\sqrt{1 — \cos^2(\arccos x)} = \sqrt{1 — x^2};$$

Значение тангенса:

$$\tg(\arccos x) = \frac{\sin(\arccos x)}{\cos(\arccos x)} = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x};$$

Что и требовалось доказать.

а) $\sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

Рассмотрим угол $t = \arctg x$:
Это значит, что $\tan t = x$, и угол $t$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$. Арктангенс всегда возвращает угол в пределах первой и четвертой четвертей, где $\cos t > 0$.

Построим прямоугольный треугольник:
В прямоугольном треугольнике, если $\tan t = x$, то противоположный катет (который противостоит углу $t$) имеет длину $x$, а прилежащий катет равен 1 (так как $\tan t = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$).

Найдем гипотенузу:
Используя теорему Пифагора, гипотенуза $g$ этого треугольника будет:

$$g = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}.$$

Значение косинуса:
Косинус угла $t$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos t = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$

Значение синуса:
Синус угла $t$ равен отношению противоположного катета к гипотенузе:

$$\sin t = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$

Ответ:
Таким образом, мы доказали, что:

$$\sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

б) $\tg(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$

Рассмотрим угол $t = \arcsin x$:
Это значит, что $\sin t = x$, и угол $t$ находится в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$. В данном интервале $\cos t > 0$, так как синус положителен или отрицателен, но косинус всегда положителен в этих границах.

Построим прямоугольный треугольник:
В прямоугольном треугольнике, если $\sin t = x$, то противоположный катет равен $x$, а гипотенуза — 1 (так как $\sin t = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}$).

Найдем прилежащий катет:
Используя теорему Пифагора, прилежащий катет $y$ можно найти следующим образом:

$$y = \sqrt{1 — x^2}.$$

Значение тангенса:
Тангенс угла $t$ равен отношению противоположного катета к прилежащему катету:

$$\tan t = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Ответ:
Таким образом, мы доказали, что:

$$\tg(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

в) $\sin(\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

Рассмотрим угол $t = \arcctg x$:
Это значит, что $\cot t = x$, и угол $t$ находится в интервале $0 < t < \pi$. В данном интервале синус положителен, так как угол $t$ может быть в первой или второй четверти.

Построим прямоугольный треугольник:
В прямоугольном треугольнике, если $\cot t = x$, то прилежащий катет равен $x$, а противоположный катет равен 1 (так как $\cot t = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}}$).

Найдем гипотенузу:
Используя теорему Пифагора, гипотенуза $g$ будет:

$$g = \sqrt{x^2 + 1}.$$

Значение синуса:
Синус угла $t$ равен отношению противоположного катета к гипотенузе:

$$\sin t = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$

Ответ:
Таким образом, мы доказали, что:

$$\sin(\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

г) $\tg(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x}$

Рассмотрим угол $t = \arccos x$:
Это значит, что $\cos t = x$, и угол $t$ находится в интервале $0 \leq t \leq \pi$. В данном интервале синус положителен в первой и второй четверти.

Построим прямоугольный треугольник:
В прямоугольном треугольнике, если $\cos t = x$, то прилежащий катет равен $x$, а гипотенуза равна 1 (так как $\cos t = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$).

Найдем противоположный катет:
Используя теорему Пифагора, противоположный катет $y$ можно найти как:

$$y = \sqrt{1 — x^2}.$$

Значение тангенса:
Тангенс угла $t$ равен отношению противоположного катета к прилежащему катету:

$$\tan t = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x}.$$

Ответ:
Таким образом, мы доказали, что:

$$\tg(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x}.$$

Итоговые ответы:

а) $\sin(\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

б) $\tg(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$

в) $\sin(\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

г) $\tg(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 — x^2}}{x}$