ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\arcsin 2x = \frac{\pi}{3}$;

б) $\arctg(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$;

в) $\arccos(3x — 3.5) = \frac{2\pi}{3}$;

г) $\mathrm{arcctg}(4x+1)=\frac{3\pi }{4}$

а) $\arcsin 2x = \frac{\pi}{3}$;

$$\sin \frac{\pi}{3} = 2x$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = 2x$$ $$x = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

б) $\arctg(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$;

$$\frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12}$$ $$\frac{7\pi}{12} > \frac{\pi}{2}$$

Ответ: корней нет.

в) $\arccos(3x — 3.5) = \frac{2\pi}{3}$;

$$\cos \frac{2\pi}{3} = 3x — 3.5$$ $$-0.5 = 3x — 3.5$$ $$3x = 3$$ $$x = 1$$

Ответ: 1.

г) $\arcctg(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$;

$$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = 4x + 1$$ $$-1 = 4x + 1$$ $$4x = -2$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $-0.5$.

а) $\arcsin 2x = \frac{\pi}{3}$

Используем определение арксинуса:
Из уравнения $\arcsin 2x = \frac{\pi}{3}$ следует, что:

$$2x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Мы знаем, что:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставляем значение синуса:
Подставляем значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для синуса:

$$2x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решаем относительно $x$:
Для нахождения $x$ делим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\sqrt{3}}{4}.$$

б) $\arctg(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$

Используем определение арктангенса:
Из уравнения $\arctg(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$ следует, что:

$$4x + 1 = \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right).$$

Проверка величины $\frac{7\pi}{12}$:
Мы знаем, что $\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$ стремится к бесконечности, а $\frac{7\pi}{12}$ больше, чем $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right)$ больше бесконечности, что противоречит значению тангенса для действительных чисел.

Вывод:
Таким образом, уравнение не имеет решений в области действительных чисел, поскольку $\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right)$ лежит вне области допустимых значений для функции тангенса.

Ответ:
Корней нет.

в) $\arccos(3x — 3.5) = \frac{2\pi}{3}$

Используем определение арккосинуса:
Из уравнения $\arccos(3x — 3.5) = \frac{2\pi}{3}$ следует, что:

$$3x — 3.5 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right).$$

Мы знаем, что:

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.$$

Подставляем значение косинуса:
Подставляем значение $-\frac{1}{2}$ для косинуса:

$$3x — 3.5 = -\frac{1}{2}.$$

Решаем относительно $x$:
Для того чтобы решить это уравнение, прибавим 3.5 к обеим частям уравнения:

$$3x = -\frac{1}{2} + 3.5 = \frac{6}{2} — \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Теперь делим обе части уравнения на 3:

$$x = \frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{6}.$$

Ответ:

$$x = 1.$$

г) $\arcctg(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$

Используем определение арккотангенса:
Из уравнения $\arcctg(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$ следует, что:

$$4x + 1 = \cot\left(\frac{3\pi}{4}\right).$$

Мы знаем, что:

$$\cot\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1.$$

Подставляем значение котангенса:
Подставляем значение $-1$ для котангенса:

$$4x + 1 = -1.$$

Решаем относительно $x$:
Для того чтобы решить это уравнение, вычитаем 1 из обеих частей уравнения:

$$4x = -2.$$

Теперь делим обе части на 4:

$$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$x = -\frac{1}{2}.$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$

б) Корней нет.

в) $x = 1$

г) $x = -\frac{1}{2}$