ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\arcsin(3x^2 — 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$;

б) $\arctg(x^3 — 27 — \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$;

в) $\arccos(3x^2 — 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$;

г) $\operatorname{arcctg}(x^3 — 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$

а) $\arcsin(3x^2 — 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$;

$$\sin \frac{\pi}{2} = 3x^2 — 5x + 1;$$ $$1 = 3x^2 — 5x + 1;$$ $$3x^2 — 5x = 0;$$ $$x(3x — 5) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5}{3};$$

Ответ: $0; \frac{5}{3}$.

б) $\arctg(x^3 — 27 — \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$;

$$\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = x^3 — 27 — \sqrt{3};$$ $$-\sqrt{3} = x^3 — 27 — \sqrt{3};$$ $$x^3 — 27 = 0;$$ $$x^3 = 27;$$ $$x = 3;$$

Ответ: $3$.

в) $\arccos(3x^2 — 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$;

$$\cos \frac{2\pi}{3} = 3x^2 — 10x + 2,5;$$ $$-0,5 = 3x^2 — 10x + 2,5;$$ $$3x^2 — 10x + 3 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64; \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$$

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

г) $\operatorname{arcctg}(x^3 — 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$;

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = x^3 — 8x^2 + 15x + 1;$$ $$1 = x^3 — 8x^2 + 15x + 1;$$ $$x^3 — 8x^2 + 15x = 0;$$ $$x(x^2 — 8x + 15) = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4; \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{8 — 2}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5, \quad x_3 = 0;$$

Ответ: $0; 3; 5$.

а) $\arcsin(3x^2 — 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$

Используем определение арксинуса:
Арксинус $\arcsin y = \theta$ означает, что $\sin \theta = y$, и $\theta$ лежит в интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Следовательно, из уравнения:

$$\arcsin(3x^2 — 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$$

мы получаем:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3x^2 — 5x + 1.$$

Используем значение синуса:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, следовательно:

$$1 = 3x^2 — 5x + 1.$$

Решаем уравнение:
Переносим 1 в правую часть уравнения:

$$0 = 3x^2 — 5x.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Выносим $x$ за скобки:

$$x(3x — 5) = 0.$$

Находим корни:
Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5}{3}.$$

Ответ:

$$x = 0; \frac{5}{3}.$$

б) $\arctg(x^3 — 27 — \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Используем определение арктангенса:
Арктангенс $\arctg y = \theta$ означает, что $\tan \theta = y$, и $\theta$ лежит в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Следовательно, из уравнения:

$$\arctg(x^3 — 27 — \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

мы получаем:

$$\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = x^3 — 27 — \sqrt{3}.$$

Используем значение тангенса:
Мы знаем, что $\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$, следовательно:

$$-\sqrt{3} = x^3 — 27 — \sqrt{3}.$$

Решаем уравнение:
Прибавим $\sqrt{3}$ к обеим частям:

$$0 = x^3 — 27.$$

Переносим 27 в правую часть:

$$x^3 = 27.$$

Находим корень:
Из этого уравнения получаем:

$$x = 3.$$

Ответ:

$$x = 3.$$

в) $\arccos(3x^2 — 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$

Используем определение арккосинуса:
Арккосинус $\arccos y = \theta$ означает, что $\cos \theta = y$, и $\theta$ лежит в интервале $[0, \pi]$. Следовательно, из уравнения:

$$\arccos(3x^2 — 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$$

мы получаем:

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3x^2 — 10x + 2,5.$$

Используем значение косинуса:
Мы знаем, что:

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2},$$

следовательно:

$$-\frac{1}{2} = 3x^2 — 10x + 2,5.$$

Решаем уравнение:
Переносим $-\frac{1}{2}$ в правую часть:

$$-\frac{1}{2} — 2,5 = 3x^2 — 10x.$$

Преобразуем:

$$-3 = 3x^2 — 10x.$$

Переносим все в одну сторону:

$$3x^2 — 10x + 3 = 0.$$

Находим дискриминант:
Для решения этого квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64.$$

Находим корни:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},$$ $$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3.$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{3}; 3.$$

г) $\operatorname{arcctg}(x^3 — 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$

Используем определение арккотангенса:
Арккотангенс $\operatorname{arcctg} y = \theta$ означает, что $\operatorname{ctg} \theta = y$, и $\theta$ лежит в интервале $(0, \pi)$. Следовательно, из уравнения:

$$\operatorname{arcctg}(x^3 — 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$$

мы получаем:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = x^3 — 8x^2 + 15x + 1.$$

Используем значение котангенса:
Мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1,$$

следовательно:

$$1 = x^3 — 8x^2 + 15x + 1.$$

Решаем уравнение:
Переносим 1 в правую часть:

$$0 = x^3 — 8x^2 + 15x.$$

Выносим $x$ за скобки:

$$x(x^2 — 8x + 15) = 0.$$

Находим корни:
Решаем квадратное уравнение $x^2 — 8x + 15 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{8 — 2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5.$$

Также из $x(x^2 — 8x + 15) = 0$ получаем $x_3 = 0$.

Ответ:

$$x = 0; 3; 5.$$

Итоговые ответы:

а) $x = 0; \frac{5}{3}$

б) $x = 3$

в) $x = \frac{1}{3}; 3$

г) $x = 0; 3; 5$