ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\arcsin (\mathrm{tg}\frac{\pi }{4})-\arcsin \sqrt{\frac{3}{x}}-\frac{\pi }{6}=0$

б) $\arccos (\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4})+\mathrm{arctg}\sqrt{2x-1}-\frac{7\pi }{6}=0$

а)

$$\arcsin \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \right) — \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} — \frac{\pi}{6} = 0;$$ $$\arcsin 1 — \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} — \frac{\pi}{6} = 0;$$ $$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}};$$ $$\arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\pi}{3};$$ $$\sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{\frac{3}{x}};$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{\frac{3}{x}};$$ $$2 = \sqrt{x};$$ $$x = 4.$$

Ответ: $4$.

б)

$$\operatorname{arccos} \left( \operatorname{ctg} \frac{3 \pi}{4} \right) + \operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} — \frac{7 \pi}{6} = 0;$$ $$\operatorname{arccos}(-1) + \operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{7 \pi}{6};$$ $$\pi + \operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{7 \pi}{6};$$ $$\operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{\pi}{6};$$ $$\tg \frac{\pi}{6} = \sqrt{2x — 1};$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{2x — 1};$$ $$1 = \sqrt{6x — 3};$$ $$1 = 6x — 3;$$ $$6x = 4;$$ $$x = \frac{2}{3}.$$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

а) $\arcsin \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \right) — \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} — \frac{\pi}{6} = 0$

Используем определение тангенса:
В начале уравнения у нас есть выражение $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1.$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\arcsin 1 — \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} — \frac{\pi}{6} = 0.$$

Используем значение арксинуса:
Арксинус 1 равен $\frac{\pi}{2}$, так как:

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}.$$

Подставляем это значение в уравнение:

$$\frac{\pi}{2} — \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} — \frac{\pi}{6} = 0.$$

Упрощаем уравнение:
Переносим $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}}.$$

Для упрощения вычислим $\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6}$. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6},$$

следовательно:

$$\frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом, уравнение преобразуется в:

$$\frac{\pi}{3} = \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}}.$$

Используем определение арксинуса:
Из уравнения $\arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\pi}{3}$ мы получаем:

$$\sqrt{\frac{3}{x}} = \sin \frac{\pi}{3}.$$

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставляем это значение:

$$\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решаем уравнение:
Теперь у нас есть уравнение:

$$\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе части уравнения в квадрат:

$$\frac{3}{x} = \frac{3}{4}.$$

Умножаем обе части на $x$ и на 4:

$$4 \cdot 3 = 3x,$$

получаем:

$$12 = 3x.$$

Находим значение $x$:
Разделим обе части уравнения на 3:

$$x = \frac{12}{3} = 4.$$

Ответ:

$$x = 4.$$

б) $\operatorname{arccos} \left( \operatorname{ctg} \frac{3 \pi}{4} \right) + \operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} — \frac{7 \pi}{6} = 0$

Используем значение котангенса:
Рассмотрим выражение $\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4}$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1,$$

так как $\operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{1}{\tan \frac{3\pi}{4}} = -1$. Подставляем это значение в уравнение:

$$\operatorname{arccos}(-1) + \operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} — \frac{7 \pi}{6} = 0.$$

Используем значение арккосинуса:
Мы знаем, что:

$$\operatorname{arccos}(-1) = \pi.$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\pi + \operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{7 \pi}{6}.$$

Упрощаем уравнение:
Переносим $\pi$ в правую часть:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{7 \pi}{6} — \pi.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{7\pi}{6} — \pi = \frac{7\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{\pi}{6}.$$

Используем определение арктангенса:
Из уравнения $\operatorname{arctg} \sqrt{2x — 1} = \frac{\pi}{6}$ получаем:

$$\sqrt{2x — 1} = \tan \frac{\pi}{6}.$$

Мы знаем, что:

$$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Подставляем это значение:

$$\sqrt{2x — 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Решаем уравнение:
Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$2x — 1 = \frac{1}{3}.$$

Переносим 1 в правую часть:

$$2x = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}.$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Ответ:

$$x = \frac{2}{3}.$$

Итоговые ответы:

а) $x = 4$

б) $x = \frac{2}{3}$