ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \cdot \arcsin x = \pi^2$;

б) $18 \arctg^2 x — 3\pi \cdot \arctg x = \pi^2$;

в) $18 \arccos^2 x = 3\pi \cdot \arccos x + \pi^2$;

г) $16 \arcctg^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \arcctg x$

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \cdot \arcsin x = \pi^2$;

Пусть $y = \arcsin x$, тогда:

$$8y^2 + 2\pi \cdot y — \pi^2 = 0;$$ $$D = (2\pi)^2 + 4 \cdot 8 \cdot \pi^2 = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-2\pi — 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2};$$ $$y_2 = \frac{-2\pi + 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4};$$

Первое значение:

$$\arcsin x = -\frac{\pi}{2};$$ $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = x;$$ $$x = -1;$$

Второе значение:

$$\arcsin x = \frac{\pi}{4};$$ $$\sin\frac{\pi}{4} = x;$$ $$x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $-1; \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $18 \arctg^2 x — 3\pi \cdot \arctg x = \pi^2$;

Пусть $y = \arctg x$, тогда:

$$18y^2 — 3\pi \cdot y — \pi^2 = 0;$$ $$D = (3\pi)^2 + 4 \cdot 18 \cdot \pi^2 = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3\pi — 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6};$$ $$y_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3};$$

Первое значение:

$$\arctg x = -\frac{\pi}{6};$$ $$\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right) = x;$$ $$x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$$

Второе значение:

$$\arctg x = \frac{\pi}{3};$$ $$\tg\frac{\pi}{3} = x;$$ $$x = \sqrt{3};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}; \sqrt{3}$.

в) $18 \arccos^2 x = 3\pi \cdot \arccos x + \pi^2$;

Пусть $y = \arccos x$, тогда:

$$18y^2 — 3\pi \cdot y — \pi^2 = 0;$$ $$D = (3\pi)^2 + 4 \cdot 18 \cdot \pi^2 = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3\pi — 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6};$$ $$y_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3};$$

Первое значение:

$$\arccos x = -\frac{\pi}{6} \quad \text{(нет корней)};$$

Второе значение:

$$\arccos x = \frac{\pi}{3};$$ $$\cos\frac{\pi}{3} = x;$$ $$x = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $16 \arcctg^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \arcctg x$;

Пусть $y = \arcctg x$, тогда:

$$16y^2 — 16\pi \cdot y + 3\pi^2 = 0;$$ $$D = (16\pi)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 3\pi^2 = 256\pi^2 — 192\pi^2 = 64\pi^2, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{16\pi — 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4};$$ $$y_2 = \frac{16\pi + 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4};$$

Первое значение:

$$\arcctg x = \frac{\pi}{4};$$ $$\ctg\frac{\pi}{4} = x;$$ $$x = 1;$$

Второе значение:

$$\arcctg x = \frac{3\pi}{4};$$ $$\ctg\frac{3\pi}{4} = x;$$ $$x = -1;$$

Ответ: $\pm 1$.

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \cdot \arcsin x = \pi^2$;

Шаг 1: Замена переменной

Пусть $y = \arcsin x$. Тогда у нас появляется следующее уравнение:

$$8y^2 + 2\pi y = \pi^2.$$

Теперь, приведём его к стандартной форме квадратичного уравнения:

$$8y^2 + 2\pi y — \pi^2 = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 2: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 8$, $b = 2\pi$, $c = -\pi^2$.

Подставляем значения:

$$D = (2\pi)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2.$$

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-2\pi — \sqrt{36\pi^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-2\pi — 6\pi}{16} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2},$$ $$y_2 = \frac{-2\pi + \sqrt{36\pi^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-2\pi + 6\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 4: Нахождение значений $x$

Теперь решим для $x$ из $\arcsin x = y$.

Для $y_1 = -\frac{\pi}{2}$:

$$\arcsin x = -\frac{\pi}{2}.$$

Тогда $x = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right)$. Известно, что $\sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$, значит:

$$x = -1.$$

Для $y_2 = \frac{\pi}{4}$:

$$\arcsin x = \frac{\pi}{4}.$$

Тогда $x = \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$. Известно, что $\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, значит:

$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $x = -1; \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $18 \arctg^2 x — 3\pi \cdot \arctg x = \pi^2$;

Шаг 1: Замена переменной

Пусть $y = \arctg x$. Тогда у нас получается следующее уравнение:

$$18y^2 — 3\pi y = \pi^2.$$

Приводим его к стандартной форме квадратичного уравнения:

$$18y^2 — 3\pi y — \pi^2 = 0.$$

Шаг 2: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 18$, $b = -3\pi$, $c = -\pi^2$.

Подставляем значения:

$$D = (-3\pi)^2 — 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2.$$

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Теперь применим формулу для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{3\pi — 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6},$$ $$y_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 4: Нахождение значений $x$

Теперь решим для $x$ из $\arctg x = y$.

Для $y_1 = -\frac{\pi}{6}$:

$$\arctg x = -\frac{\pi}{6}.$$

Тогда $x = \tan\left( -\frac{\pi}{6} \right)$. Известно, что $\tan\left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, значит:

$$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Для $y_2 = \frac{\pi}{3}$:

$$\arctg x = \frac{\pi}{3}.$$

Тогда $x = \tan\left( \frac{\pi}{3} \right)$. Известно, что $\tan\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$, значит:

$$x = \sqrt{3}.$$

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}; \sqrt{3}$.

в) $18 \arccos^2 x = 3\pi \cdot \arccos x + \pi^2$;

Шаг 1: Замена переменной

Пусть $y = \arccos x$. Тогда у нас получается следующее уравнение:

$$18y^2 = 3\pi y + \pi^2.$$

Приводим его к стандартной форме квадратичного уравнения:

$$18y^2 — 3\pi y — \pi^2 = 0.$$

Шаг 2: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 18$, $b = -3\pi$, $c = -\pi^2$.

Подставляем значения:

$$D = (-3\pi)^2 — 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2.$$

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Теперь применим формулу для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{3\pi — 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6},$$ $$y_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 4: Проверка допустимости корней

Для $y_1 = -\frac{\pi}{6}$:

$$\arccos x = -\frac{\pi}{6}.$$

Однако для функции $\arccos x$ значения находятся в диапазоне от 0 до $\pi$, то есть $y_1 = -\frac{\pi}{6}$ является недопустимым. Следовательно, корня для этого значения нет.

Для $y_2 = \frac{\pi}{3}$:

$$\arccos x = \frac{\pi}{3}.$$

Тогда $x = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$. Известно, что $\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$, значит:

$$x = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) $16 \arcctg^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \arcctg x$;

Шаг 1: Замена переменной

Пусть $y = \arcctg x$. Тогда у нас получается следующее уравнение:

$$16y^2 + 3\pi^2 = 16\pi y.$$

Приводим его к стандартной форме квадратичного уравнения:

$$16y^2 — 16\pi y + 3\pi^2 = 0.$$

Шаг 2: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 16$, $b = -16\pi$, $c = 3\pi^2$.

Подставляем значения:

$$D = (-16\pi)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 3\pi^2 = 256\pi^2 — 192\pi^2 = 64\pi^2.$$

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Теперь применим формулу для нахождения корней:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{16\pi — 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4},$$ $$y_2 = \frac{16\pi + 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}.$$

Шаг 4: Нахождение значений $x$

Теперь решим для $x$ из $\arcctg x = y$.

Для $y_1 = \frac{\pi}{4}$:

$$\arcctg x = \frac{\pi}{4}.$$

Тогда $x = \ctg\left( \frac{\pi}{4} \right)$. Известно, что $\ctg\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$, значит:

$$x = 1.$$

Для $y_2 = \frac{3\pi}{4}$:

$$\arcctg x = \frac{3\pi}{4}.$$

Тогда $x = \ctg\left( \frac{3\pi}{4} \right)$. Известно, что $\ctg\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1$, значит:

$$x = -1.$$

Ответ: $x = \pm 1$.