ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\arcsin\left(2x + 3\frac{1}{3}\right) = \arcsin\left(-\frac{2x}{9}\right)$;

б) $\arctg(x^2 — 9) = \arctg(8x)$;

в) $\arccos(3x + 1) = \arccos(2x + 5)$;

г) $\arcctg(x^2 — x) = \arcctg(4x — 6)$

а) $\arcsin\left(2x + 3\frac{1}{3}\right) = \arcsin\left(-\frac{2x}{9}\right)$;

$2x + 3\frac{1}{3} = -\frac{2x}{9} \mid \cdot 9$;

$18x + 27 + 3 = -2x$;

$20x = -30$;

$x = -\frac{3}{2}$;

Ответ: $-1,5$.

б) $\arctg(x^2 — 9) = \arctg(8x)$;

$x^2 — 9 = 8x$;

$x^2 — 8x — 9 = 0$;

$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100$, тогда:

$x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$;

Ответ: $-1; 9$.

в) $\arccos(3x + 1) = \arccos(2x + 5)$;

$3x + 1 = 2x + 5$;

$3x — 2x = 5 — 1$;

$x = 4$;

Выражение не имеет смысла:

$3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13 > 1$;

Ответ: нет корней.

г) $\arcctg(x^2 — x) = \arcctg(4x — 6)$;

$x^2 — x = 4x — 6$;

$x^2 — 5x + 6 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;

Ответ: $2; 3$.

а) $\arcsin\left(2x + 3\frac{1}{3}\right) = \arcsin\left(-\frac{2x}{9}\right)$;

Шаг 1: Применение функции $\arcsin$

Так как функции $\arcsin$ являются взаимно обратными для значений, находящихся в интервале $[-1, 1]$, мы можем избавиться от этих функций, приравняв их аргументы, при условии, что они лежат в допустимом диапазоне:

$$2x + 3\frac{1}{3} = -\frac{2x}{9}.$$

Шаг 2: Преобразование смешанной дроби

Запишем $3\frac{1}{3}$ как неправильную дробь:

$$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}.$$

Теперь уравнение становится:

$$2x + \frac{10}{3} = -\frac{2x}{9}.$$

Шаг 3: Умножение на 9 для устранения дробей

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$$9 \cdot \left(2x + \frac{10}{3}\right) = 9 \cdot \left(-\frac{2x}{9}\right).$$

После умножения:

$$9 \cdot 2x + 9 \cdot \frac{10}{3} = -2x,$$ $$18x + 30 = -2x.$$

Шаг 4: Перенос всех членов с $x$ в одну часть уравнения

Переносим $-2x$ в левую часть уравнения:

$$18x + 2x = -30,$$ $$20x = -30.$$

Шаг 5: Решение для $x$

Теперь делим обе части уравнения на 20:

$$x = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2}.$$

Ответ: $x = -1,5$.

б) $\arctg(x^2 — 9) = \arctg(8x)$;

Шаг 1: Применение функции $\arctg$

Так как функции $\arctg$ также являются взаимно обратными, можем приравнять аргументы при условии, что их значения находятся в допустимом диапазоне:

$$x^2 — 9 = 8x.$$

Шаг 2: Приведение к стандартной форме квадратного уравнения

Переносим все члены в одну часть уравнения:

$$x^2 — 8x — 9 = 0.$$

Теперь у нас стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Шаг 3: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -8$, $c = -9$. Подставляем значения:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100.$$

Шаг 4: Нахождение корней уравнения

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 10}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9.$$

Ответ: $x = -1; 9$.

в) $\arccos(3x + 1) = \arccos(2x + 5)$;

Шаг 1: Применение функции $\arccos$

Так как функции $\arccos$ являются взаимно обратными, мы можем приравнять их аргументы при условии, что они лежат в диапазоне $[-1, 1]$:

$$3x + 1 = 2x + 5.$$

Шаг 2: Решение линейного уравнения

Переносим все $x$-составляющие в одну часть уравнения:

$$3x — 2x = 5 — 1,$$ $$x = 4.$$

Шаг 3: Проверка корректности решения

Теперь проверим, не выходит ли выражение за пределы допустимого диапазона для функции $\arccos$, которая принимает значения от $-1$ до $1$:

$$3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13,$$ $$2 \cdot 4 + 5 = 8 + 5 = 13.$$

В обоих случаях результат превышает 1, что недопустимо для функции $\arccos$, так как её аргумент должен лежать в интервале $[-1, 1]$.

Ответ: нет корней.

г) $\arcctg(x^2 — x) = \arcctg(4x — 6)$;

Шаг 1: Применение функции $\arcctg$

Так как функции $\arcctg$ являются взаимно обратными, можем приравнять их аргументы при условии, что они лежат в допустимом диапазоне:

$$x^2 — x = 4x — 6.$$

Шаг 2: Приведение уравнения к стандартной форме

Переносим все члены в одну часть уравнения:

$$x^2 — x — 4x + 6 = 0,$$ $$x^2 — 5x + 6 = 0.$$

Шаг 3: Нахождение дискриминанта

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Подставляем значения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.$$

Шаг 4: Нахождение корней уравнения

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3.$$

Ответ: $x = 2; 3$.