ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на четность:

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$;

б) $y = \sin^2 x + x \cdot \arcsin x$;

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$;

г) $y = 2 \tg x + x^5 — 3 \arcsin 2x$

Исследовать функцию на четность:

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$;

$y(-x) = \frac{\arcsin(-x)}{(-x)^4} = \frac{-\arcsin x}{x^4} = -y(x);$

Ответ: нечетная.

б) $y = \sin^2 x + x \cdot \arcsin x$;

$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x) \cdot \arcsin(-x);$

$y(-x) = -(\sin x)^2 — x \cdot (-\arcsin x);$

$y(-x) = \sin^2 x + x \cdot \arcsin x = y(x);$

Ответ: четная.

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$;

$y(-x) = \arcsin(-x)^3 + 3 \cos(-2x);$

$y(-x) = \arcsin(-x^3) + 3 \cos 2x;$

$y(-x) = -\arcsin x^3 + 3 \cos 2x;$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = 2 \tg x + x^5 — 3 \arcsin 2x$;

$y(-x) = 2 \tg(-x) + (-x)^5 — 3 \arcsin(-2x);$

$y(-x) = -2 \tg x — x^5 + 3 \arcsin 2x;$

$y(-x) = -(2 \tg x + x^5 — 3 \arcsin 2x) = -y(x);$

Ответ: нечетная.

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$

Шаг 1. Определим, что нужно сделать для проверки на четность или нечетность. Для этого мы должны вычислить $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Шаг 2. Подставляем $-x$ в выражение для функции:

$$y(-x) = \frac{\arcsin(-x)}{(-x)^4}$$

Шаг 3. Используем свойство функции арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Это важное свойство, так как оно помогает упростить выражение:

$$y(-x) = \frac{-\arcsin(x)}{x^4}$$

Шаг 4. Обратите внимание, что $(-x)^4 = x^4$, так как возведение в четвертую степень всегда дает положительный результат, независимо от знака $x$.

Шаг 5. Получаем:

$$y(-x) = \frac{-\arcsin(x)}{x^4} = -\frac{\arcsin(x)}{x^4} = -y(x)$$

Шаг 6. Мы видим, что $y(-x) = -y(x)$, что означает, что функция $y(x)$ является нечетной.

Ответ: Функция нечетная.

б) $y = \sin^2 x + x \cdot \arcsin x$

Шаг 1. Проверим четность или нечетность функции, подставив $-x$ вместо $x$.

$$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x) \cdot \arcsin(-x)$$

Шаг 2. Рассмотрим каждое из слагаемых:

• $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$, так как квадрат любого числа всегда положительный.
• $(-x) \cdot \arcsin(-x) = -x \cdot (-\arcsin(x)) = x \cdot \arcsin(x)$, используя свойство арксинуса $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Шаг 3. Подставляем это в выражение для $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin^2(x) + x \cdot \arcsin(x)$$

Шаг 4. Мы видим, что $y(-x) = y(x)$, что означает, что функция $y(x)$ является четной.

Ответ: Функция четная.

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$

Шаг 1. Подставим $-x$ в функцию:

$$y(-x) = \arcsin((-x)^3) + 3 \cos(2(-x))$$

Шаг 2. Упростим каждое из слагаемых:

• $(-x)^3 = -x^3$, поэтому $\arcsin((-x)^3) = \arcsin(-x^3)$.
• $\cos(2(-x)) = \cos(-2x)$, и так как $\cos$ — четная функция, то $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

Шаг 3. Получаем:

$$y(-x) = \arcsin(-x^3) + 3 \cos(2x)$$

Шаг 4. Мы знаем, что $\arcsin(-x^3) = -\arcsin(x^3)$, так как арксинус — нечетная функция. Таким образом:

$$y(-x) = -\arcsin(x^3) + 3 \cos(2x)$$

Шаг 5. В отличие от функции $y(x)$, мы видим, что $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, то есть функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция нечетная и нечетная.

г) $y = 2 \tg x + x^5 — 3 \arcsin 2x$

Шаг 1. Подставим $-x$ в выражение для функции:

$$y(-x) = 2 \tg(-x) + (-x)^5 — 3 \arcsin(-2x)$$

Шаг 2. Разберем каждое из слагаемых:

• $\tg(-x) = -\tg(x)$, так как тангенс — нечетная функция.
• $(-x)^5 = -x^5$, так как возведение в нечетную степень сохраняет знак.
• $\arcsin(-2x) = -\arcsin(2x)$, так как арксинус — нечетная функция.

Шаг 3. Подставляем это в выражение для $y(-x)$:

$$y(-x) = 2(-\tg(x)) — x^5 — 3(-\arcsin(2x))$$ $$y(-x) = -2 \tg(x) — x^5 + 3 \arcsin(2x)$$

Шаг 4. Мы видим, что:

$$y(-x) = -(2 \tg(x) + x^5 — 3 \arcsin(2x)) = -y(x)$$

Шаг 5. Таким образом, функция $y(x)$ является нечетной.

Ответ: Функция нечетная.

Итоговые ответы:

а) Нечетная

б) Четная

в) Ни четная, ни нечетная

г) Нечетная