ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\arccos x > \frac{3\pi}{4}$;

б) $\arctg x > -\frac{\pi}{4}$;

в) $\arcsin x < \frac{3\pi}{4}$;

г) $\mathrm{arcctg}x\le \frac{5\pi }{6}$

а) $\arccos x > \frac{3\pi}{4}$;

$$\cos \frac{3\pi}{4} > x;$$ $$-\frac{\sqrt{2}}{2} > x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $-1 \leq x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\arctg x > -\frac{\pi}{4}$;

$$\tg \left( -\frac{\pi}{4} \right) < x;$$ $$-\tg \frac{\pi}{4} < x;$$ $$-1 < x;$$

Ответ: $x > -1$.

в) $\arcsin x < \frac{3\pi}{4}$;

$$\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad x \in D(f);$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $-1 \leq x \leq 1$.

г) $\arcctg x \leq \frac{5\pi}{6}$;

$$\ctg \frac{5\pi}{6} \leq x;$$ $$\ctg \left( -\frac{\pi}{6} + \pi \right) \leq x;$$ $$\ctg \left( -\frac{\pi}{6} \right) \leq x;$$ $$-\sqrt{3} \leq x;$$

Ответ: $x \geq -\sqrt{3}$.

а) $\arccos x > \frac{3\pi}{4}$;

Шаг 1: Понимание исходного неравенства

Необходимо решить неравенство:

$$\arccos x > \frac{3\pi}{4}.$$

Функция $\arccos x$ — это угол, косинус которого равен $x$, и она принимает значения в интервале $[0, \pi]$. Следовательно, для того чтобы решить это неравенство, нужно понять, при каких значениях $x$ значение $\arccos x$ больше, чем $\frac{3\pi}{4}$.

Шаг 2: Преобразование неравенства через косинус

Рассмотрим, что значит $\arccos x > \frac{3\pi}{4}$. Угловое значение $\arccos x$ — это угол $\theta$, при котором $\cos(\theta) = x$. Следовательно, мы можем применить косинус к обеим частям неравенства:

$$\cos(\arccos x) < \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right).$$

Поскольку $\cos(\arccos x) = x$, неравенство примет вид:

$$x < \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right).$$

Шаг 3: Вычисление $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Известно, что:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Это значит, что неравенство становится:

$$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 4: Ограничения для $x$

Функция $\arccos x$ определена только для $x$ в интервале $[-1, 1]$, то есть $x$ должно удовлетворять:

$$-1 \leq x \leq 1.$$

Таким образом, выражение имеет смысл только в пределах этого интервала.

Шаг 5: Ответ

С учетом этих ограничений, решение неравенства $\arccos x > \frac{3\pi}{4}$ будет:

$$-1 \leq x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $-1 \leq x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\arctg x > -\frac{\pi}{4}$;

Шаг 1: Понимание исходного неравенства

Необходимо решить неравенство:

$$\arctg x > -\frac{\pi}{4}.$$

Функция $\arctg x$ — это угол, тангенс которого равен $x$, и её область значений — это весь действительный ряд, то есть $x \in (-\infty, \infty)$. Чтобы решить неравенство, нужно найти, при каких значениях $x$ значение $\arctg x$ больше, чем $-\frac{\pi}{4}$.

Шаг 2: Преобразование неравенства через тангенс

Преобразуем неравенство, применяя тангенс к обеим частям:

$$\tg\left(\arctg x\right) > \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right).$$

Поскольку $\tg(\arctg x) = x$, а $\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, неравенство превращается в:

$$x > -1.$$

Шаг 3: Ответ

Решение этого неравенства:

$$x > -1.$$

Ответ: $x > -1$.

в) $\arcsin x < \frac{3\pi}{4}$;

Шаг 1: Понимание исходного неравенства

Необходимо решить неравенство:

$$\arcsin x < \frac{3\pi}{4}.$$

Функция $\arcsin x$ определена для значений $x \in [-1, 1]$ и принимает значения в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, неравенство $\arcsin x < \frac{3\pi}{4}$ всегда будет выполняться, потому что максимальное значение функции $\arcsin x$ равно $\frac{\pi}{2}$, что меньше, чем $\frac{3\pi}{4}$.

Шаг 2: Ограничения для $x$

Так как $\arcsin x$ определено только для $x \in [-1, 1]$, решение будет:

$$-1 \leq x \leq 1.$$

Ответ: $-1 \leq x \leq 1$.

г) $\arcctg x \leq \frac{5\pi}{6}$;

Шаг 1: Понимание исходного неравенства

Необходимо решить неравенство:

$$\arcctg x \leq \frac{5\pi}{6}.$$

Функция $\arcctg x$ — это угол, котангенс которого равен $x$, и её область значений — это интервал $(0, \pi)$. Чтобы решить это неравенство, нужно найти, при каких значениях $x$ значение $\arcctg x$ меньше либо равно $\frac{5\pi}{6}$.

Шаг 2: Преобразование неравенства через котангенс

Преобразуем неравенство, применяя котангенс к обеим частям:

$$\ctg\left(\arcctg x\right) \geq \ctg\left(\frac{5\pi}{6}\right).$$

Поскольку $\ctg(\arcctg x) = x$, неравенство примет вид:

$$x \geq \ctg\left(\frac{5\pi}{6}\right).$$

Шаг 3: Вычисление $\ctg\left(\frac{5\pi}{6}\right)$

Известно, что:

$$\ctg\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \ctg\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) = -\ctg\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}.$$

Таким образом, неравенство становится:

$$x \geq -\sqrt{3}.$$

Шаг 4: Ответ

Решение этого неравенства:

$$x \geq -\sqrt{3}.$$

Ответ: $x \geq -\sqrt{3}$.

Итоговый ответ:

а) $-1 \leq x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $x > -1$

в) $-1 \leq x \leq 1$

г) $x \geq -\sqrt{3}$