ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $9 \arcsin^2 x \leq \pi^2$;

б) $36 \arctg^2 x > \pi^2$;

в) $16 \arccos^2 x > \pi^2$;

г) $9 \arcctg^2 x \leq \pi^2$

а) $9 \arcsin^2 x \leq \pi^2$;

Пусть $y = \arcsin x$, тогда:

$$9y^2 \leq \pi^2;$$ $$9y^2 — \pi^2 \leq 0;$$ $$(3y + \pi)(3y — \pi) \leq 0;$$ $$-\frac{\pi}{3} \leq y \leq \frac{\pi}{3};$$

Первое значение:

$$\arcsin x \geq -\frac{\pi}{3};$$ $$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \leq x;$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x;$$

Второе значение:

$$\arcsin x \leq \frac{\pi}{3};$$ $$\sin \frac{\pi}{3} \geq x;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \geq x;$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $36 \arctg^2 x > \pi^2$;

Пусть $y = \arctg x$, тогда:

$$36y^2 > \pi^2;$$ $$36y^2 — \pi^2 > 0;$$ $$(6y + \pi)(6y — \pi) > 0;$$ $$y < -\frac{\pi}{6} \text{ и } y > \frac{\pi}{6};$$

Первое значение:

$$\arctg x < -\frac{\pi}{6};$$ $$\tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) > x;$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{3} > x;$$

Второе значение:

$$\arctg x > \frac{\pi}{6};$$ $$\tg \frac{\pi}{6} < x;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3} < x;$$

Ответ: $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}; \, x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $16 \arccos^2 x > \pi^2$;

Пусть $y = \arccos x$, тогда:

$$16y^2 > \pi^2;$$ $$16y^2 — \pi^2 > 0;$$ $$(4y + \pi)(4y — \pi) > 0;$$ $$y < -\frac{\pi}{4} \text{ и } y > \frac{\pi}{4};$$

Первое значение:

$$\arccos x < -\frac{\pi}{4} \quad \text{нет корней};$$

Второе значение:

$$\arccos x > \frac{\pi}{4};$$ $$\cos \frac{\pi}{4} > x;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} > x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $-1 \leq x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $9 \arcctg^2 x \leq \pi^2$;

Пусть $y = \arcctg x$, тогда:

$$9y^2 \leq \pi^2;$$ $$9y^2 — \pi^2 \leq 0;$$ $$(3y + \pi)(3y — \pi) \leq 0;$$ $$-\frac{\pi}{3} \leq y \leq \frac{\pi}{3};$$

Первое значение:

$$\arcctg x \geq -\frac{\pi}{3} \quad \text{при любом } x;$$

Второе значение:

$$\arcctg x \leq \frac{\pi}{3};$$ $$\ctg \frac{\pi}{3} \leq x;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3} \leq x;$$

Ответ: $x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $9 \arcsin^2 x \leq \pi^2$;

Шаг 1: Введение замены

Для удобства введем замену $y = \arcsin x$. Таким образом, уравнение примет вид:

$$9y^2 \leq \pi^2.$$

Это неравенство описывает ограничение для квадрата функции $\arcsin x$.

Шаг 2: Преобразование неравенства

Решим неравенство относительно $y$:

$$9y^2 \leq \pi^2 \quad \Rightarrow \quad y^2 \leq \frac{\pi^2}{9}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$$|y| \leq \frac{\pi}{3}.$$

Это означает, что $y$ находится в интервале:

$$-\frac{\pi}{3} \leq y \leq \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Возврат к переменной $x$

Поскольку $y = \arcsin x$, получаем:

$$-\frac{\pi}{3} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{3}.$$

Решим это неравенство для $x$. Из того, что $\arcsin x$ — это функция, которая определена для значений $x \in [-1, 1]$, получаем, что:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \leq x \leq \sin\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Вспоминаем, что:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом, получаем:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $36 \arctg^2 x > \pi^2$;

Шаг 1: Введение замены

Введем замену $y = \arctg x$. Тогда неравенство примет вид:

$$36y^2 > \pi^2.$$

Это неравенство также можно решить относительно $y$.

Шаг 2: Преобразование неравенства

Решим неравенство относительно $y$:

$$y^2 > \frac{\pi^2}{36}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$$|y| > \frac{\pi}{6}.$$

Это означает, что $y$ находится вне интервала $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$. То есть:

$$y < -\frac{\pi}{6} \quad \text{или} \quad y > \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3: Возврат к переменной $x$

Так как $y = \arctg x$, получаем два случая для $x$:

$\arctg x < -\frac{\pi}{6}$:

$$\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом:

$$x < -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

$\arctg x > \frac{\pi}{6}$:

$$\tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Таким образом:

$$x > \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}; \, x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $16 \arccos^2 x > \pi^2$;

Шаг 1: Введение замены

Введем замену $y = \arccos x$. Тогда неравенство примет вид:

$$16y^2 > \pi^2.$$

Решим его для $y$.

Шаг 2: Преобразование неравенства

Решаем неравенство относительно $y$:

$$y^2 > \frac{\pi^2}{16}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$|y| > \frac{\pi}{4}.$$

Это означает, что $y$ находится вне интервала $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$. То есть:

$$y < -\frac{\pi}{4} \quad \text{или} \quad y > \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 3: Возврат к переменной $x$

Поскольку $y = \arccos x$, получаем два случая для $x$:

$\arccos x < -\frac{\pi}{4}$:
Это условие не имеет смысла, поскольку $\arccos x$ не может быть меньше $-\frac{\pi}{4}$ для значений $x \in [-1, 1]$.

$\arccos x > \frac{\pi}{4}$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом:

$$x < \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1.$$

Ответ: $-1 \leq x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $9 \arcctg^2 x \leq \pi^2$;

Шаг 1: Введение замены

Введем замену $y = \arcctg x$. Тогда неравенство примет вид:

$$9y^2 \leq \pi^2.$$

Решим его для $y$.

Шаг 2: Преобразование неравенства

Решаем неравенство относительно $y$:

$$y^2 \leq \frac{\pi^2}{9}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$|y| \leq \frac{\pi}{3}.$$

Это означает, что $y$ находится в интервале:

$$-\frac{\pi}{3} \leq y \leq \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Возврат к переменной $x$

Так как $y = \arcctg x$, получаем:

$$-\frac{\pi}{3} \leq \arcctg x \leq \frac{\pi}{3}.$$

Решим это неравенство для $x$. Из того, что $\arcctg x$ — это функция, которая принимает значения в интервале $(0, \pi)$, мы знаем, что $\ctg$ — это обратная функция к $\arcctg$. Таким образом, получаем:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{3}\right) \leq x \leq \ctg\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Известно, что:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}; \, x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

в) $-1 \leq x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$