ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На сколько процентов:

а) число $\arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$ больше числа $\arcsin\left(\cos \frac{7\pi}{3}\right)$;

б) число $\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$ больше числа $\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$;

в) число $\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$ меньше числа $\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$;

г) число $\arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$ больше числа $\arcsin\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right)$?

На сколько процентов первое число больше или меньше второго;

а) $\arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$ и $\arcsin\left(\cos \frac{7\pi}{3}\right)$;

Значения аргументов:

$$\sin 45^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos 135^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 135^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left(\frac{7\pi}{3} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$$

Значения чисел:

$$\arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ) = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2};$$ $$\arcsin\left(\cos \frac{7\pi}{3}\right) = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6};$$

Отношение чисел:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6}\right) : \frac{\pi}{6} = \left(\frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{6}{\pi} = \frac{2\pi}{6} \cdot \frac{6}{\pi} = 2;$$

Ответ: $200\%$.

б) $\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$ и $\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$;

Значения аргументов:

$$\sin 30^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 120^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(\frac{9\pi}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Значения чисел:

$$\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ) = \arccos\left(\frac{1}{2} — \frac{1}{2}\right) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2};$$ $$\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right) = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$$

Отношение чисел:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4}\right) : \frac{\pi}{4} = \left(\frac{2\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{4}{\pi} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{4}{\pi} = 1;$$

Ответ: $100\%$.

в) $\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$ и $\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$;

Значения аргументов:

$$\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(\frac{9\pi}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin 30^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 120^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$

Значения чисел:

$$\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right) = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$$ $$\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ) = \arccos\left(\frac{1}{2} — \frac{1}{2}\right) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2};$$

Отношение чисел:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4}\right) : \frac{\pi}{2} = \left(\frac{2\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{4} = 0,5;$$

Ответ: $50\%$.

г) $\arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$ и $\arcsin\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right)$;

Значения аргументов:

$$\sin 60^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos 150^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 150^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos \frac{13\pi}{6} = \cos \left(\frac{13\pi}{6} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Значения чисел:

$$\arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ) = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2};$$ $$\arcsin\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right) = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3};$$

Отношение чисел:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3}\right) : \frac{\pi}{3} = \left(\frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6}\right) \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{3}{6} = 0,5;$$

Ответ: $50\%$.

а) $\arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$ и $\arcsin\left(\cos \frac{7\pi}{3}\right)$;

Шаг 1: Значения аргументов

Для начала найдем значения тригонометрических функций, которые присутствуют в нашем выражении.

$\sin 45^\circ = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos 135^\circ = \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left(\frac{7\pi}{3} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Значения чисел

Теперь вычислим значения каждого выражения:

$\arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ) = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

$\arcsin\left(\cos \frac{7\pi}{3}\right) = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: Сравнение чисел

Теперь найдем разницу между двумя значениями и вычислим их отношение:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6}\right) : \frac{\pi}{6} = \left(\frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{6}{\pi} = \frac{2\pi}{6} \cdot \frac{6}{\pi} = 2.$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, первое число больше второго на $200\%$.

Ответ: $200\%$.

б) $\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$ и $\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$;

Шаг 1: Значения аргументов

$\sin 30^\circ = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$\cos 120^\circ = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

$\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(\frac{9\pi}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Значения чисел

Теперь вычислим значения каждого выражения:

$\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ) = \arccos\left(\frac{1}{2} — \frac{1}{2}\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

$\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right) = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Сравнение чисел

Теперь вычислим разницу между ними и отношение чисел:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4}\right) : \frac{\pi}{4} = \left(\frac{2\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{4}{\pi} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{4}{\pi} = 1.$$

Шаг 4: Ответ

Первое число равно второму на 100%.

Ответ: $100\%$.

в) $\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$ и $\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$;

Шаг 1: Значения аргументов

$\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(\frac{9\pi}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sin 30^\circ = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$\cos 120^\circ = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Значения чисел

Теперь вычислим значения каждого выражения:

$\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right) = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$\arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ) = \arccos\left(\frac{1}{2} — \frac{1}{2}\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Шаг 3: Сравнение чисел

Теперь найдем разницу между ними и вычислим отношение:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4}\right) : \frac{\pi}{2} = \left(\frac{2\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{4} = 0.5.$$

Шаг 4: Ответ

Первое число составляет 50% от второго.

Ответ: $50\%$.

г) $\arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$ и $\arcsin\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right)$;

Шаг 1: Значения аргументов

$\sin 60^\circ = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos 150^\circ = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos \frac{13\pi}{6} = \cos \left(\frac{13\pi}{6} — 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Значения чисел

Теперь вычислим значения каждого выражения:

$\arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ) = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

$\arcsin\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right) = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3: Сравнение чисел

Теперь найдем разницу между ними и вычислим отношение:

$$\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3}\right) : \frac{\pi}{2} = \left(\frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6}\right) \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{6} = 0.5.$$

Шаг 4: Ответ

Первое число составляет 50% от второго.

Ответ: $50\%$.

Итоговые ответы:

а) $200\%$

б) $100\%$

в) $50\%$

г) $50\%$