ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На сколько:

а) число $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}4)$ меньше числа $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}(0,8))$;

б) число ${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,25))$ больше числа ${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,5))$;

в) число ${\mathrm{tg}}^2(\arccos 0,5)$ меньше числа ${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin \frac{1}{3})$;

г) число ${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin (-0,2))$ больше числа ${\mathrm{tg}}^2(\arccos \frac{1}{3})$?

На сколько первое число больше или меньше второго:

а) $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}4)$ и $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}(0,8))$;

Значения чисел:

$$\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}4)=\frac{1}{\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}4)}=\frac{1}{4};$$$$\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}(0,8))=\frac{1}{\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(0,8))}=\frac{1}{0,8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4};$$

Разность чисел:

$$d=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1;$$

Ответ: 1.

б) ${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,25))$ и ${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,5))$;

Значения косинусов:

$${\cos }^2(\arccos (-0,25))=(-0,25{)}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16};$$$${\cos }^2(\arccos (-0,5))=(-0,5{)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4};$$

Значения синусов:

$${\sin }^2(\arccos (-0,25))=1-(-0,25{)}^2=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=\frac{15}{16};$$$${\sin }^2(\arccos (-0,5))=1-(-0,5{)}^2=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4};$$

Значения чисел:

$${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,25))=\frac{15}{16}:\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\cdot 16=15;$$$${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,5))=\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\cdot 4=3;$$

Разность чисел:

$$d=15-3=12;$$

Ответ: 12.

в) ${\mathrm{tg}}^2(\arccos 0,5)$ и ${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin \frac{1}{3})$;

Значения косинусов:

$${\cos }^2(\arccos 0,5)=(0,5{)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4};$$$${\cos }^2(\arcsin \frac{1}{3})=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9};$$

Значения синусов:

$${\sin }^2(\arccos 0,5)=1-(0,5{)}^2=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4};$$$${\sin }^2(\arcsin \frac{1}{3})={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9};$$

Значения чисел:

$${\mathrm{tg}}^2(\arccos 0,5)=\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\cdot 4=3;$$$${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin \frac{1}{3})=\frac{8}{9}:\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\cdot 9=8;$$

Разность чисел:

$$d=8-3=5;$$

Ответ: 5.

г) ${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin (-0,2))$ и ${\mathrm{tg}}^2(\arccos \frac{1}{3})$;

Значения косинусов:

$${\cos }^2(\arcsin (-0,2))=1-(-0,2{)}^2=\frac{25}{25}-\frac{1}{25}=\frac{24}{25};$$$${\cos }^2(\arccos \frac{1}{3})={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9};$$

Значения синусов:

$${\sin }^2(\arcsin (-0,2))=(-0,2{)}^2={(-\frac{1}{5})}^2=\frac{1}{25};$$$${\sin }^2(\arccos \frac{1}{3})=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9};$$

Значения чисел:

$${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin (-0,2))=\frac{24}{25}:\frac{1}{25}=\frac{24}{25}\cdot 25=24;$$$${\mathrm{tg}}^2(\arccos \frac{1}{3})=\frac{8}{9}:\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\cdot 9=8;$$

Разность чисел:

$$d=24-8=16;$$

Ответ: 16.

а) $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}4)$ и $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}(0,8))$;

Шаг 1: Преобразование выражений

Рассмотрим первое выражение $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}4)$. Напомним, что $\mathrm{arctg}x$ — это функция, которая даёт угол, тангенс которого равен $x$. Следовательно:

$$\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}4)=\frac{1}{\tan (\mathrm{arctg}4)}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Здесь мы использовали свойство, что $\tan (\mathrm{arctg}x)=x$, поэтому результат равен $\frac{1}{4}$.

Рассмотрим второе выражение $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}(0,8))$. $\mathrm{arcctg}x$ — это угол, котангенс которого равен $x$. Тогда:

$$\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(0,8))=0,8.$$

Из этого следует, что $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}x)$ это обратная функция:

$$\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}(0,8))=\frac{1}{\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(0,8))}=\frac{1}{0,8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Сравнение чисел

Теперь у нас есть два числа: $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{4}$.

Разность между числами:

$$d=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1.$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, первое число меньше второго на 1.

Ответ: 1.

б) ${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,25))$ и ${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,5))$;

Шаг 1: Вычисление значений косинусов

$\cos (\arccos (-0,25))=-0,25$ и $\cos (\arccos (-0,5))=-0,5$.

Шаг 2: Вычисление значений синусов

Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$, найдем значения синусов:

Для $\arccos (-0,25)$:

$${\sin }^2(\arccos (-0,25))=1-(-0,25{)}^2=1-0,0625=0,9375.$$

Таким образом:

$$\sin (\arccos (-0,25))=\sqrt{0,9375}=\frac{\sqrt{15}}{4}\mathrm{.}$$

Для $\arccos (-0,5)$:

$${\sin }^2(\arccos (-0,5))=1-(-0,5{)}^2=1-0,25=0,75.$$

Таким образом:

$$\sin (\arccos (-0,5))=\sqrt{0,75}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычисление значений тангенсов

Теперь найдем значения тангенсов для этих углов:

Для $\arccos (-0,25)$:

$${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,25))=\frac{{\sin }^2(\arccos (-0,25))}{{\cos }^2(\arccos (-0,25))}=\frac{0,9375}{0,0625}=15.$$

Для $\arccos (-0,5)$:

$${\mathrm{tg}}^2(\arccos (-0,5))=\frac{{\sin }^2(\arccos (-0,5))}{{\cos }^2(\arccos (-0,5))}=\frac{0,75}{0,25}=3.$$

Шаг 4: Разность чисел

Теперь находим разность между числами:

$$d=15-3=12.$$

Шаг 5: Ответ

Ответ: 12.

в) ${\mathrm{tg}}^2(\arccos 0,5)$ и ${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin \frac{1}{3})$;

Шаг 1: Вычисление значений косинусов и синусов

Для $\arccos 0,5$:

$$\cos (\arccos 0,5)=0,5\text{и}\sin (\arccos 0,5)=\sqrt{1-0,5^2}=\sqrt{0,75}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Для $\arcsin \frac{1}{3}$:

$$\sin (\arcsin \frac{1}{3})=\frac{1}{3}\text{и}\cos (\arcsin \frac{1}{3})=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление значений тангенсов и котангенсов

Для $\arccos 0,5$:

$${\mathrm{tg}}^2(\arccos 0,5)=\frac{{\sin }^2(\arccos 0,5)}{{\cos }^2(\arccos 0,5)}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{{(0,5)}^2}=\frac{3}{4}\cdot 4=3.$$

Для $\arcsin \frac{1}{3}$:

$${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin \frac{1}{3})=\frac{{\cos }^2(\arcsin \frac{1}{3})}{{\sin }^2(\arcsin \frac{1}{3})}=\frac{{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{8}{9}\cdot 9=8.$$

Шаг 3: Разность чисел

Теперь находим разность между числами:

$$d=8-3=5.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: 5.

г) ${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin (-0,2))$ и ${\mathrm{tg}}^2(\arccos \frac{1}{3})$;

Шаг 1: Вычисление значений косинусов и синусов

Для $\arcsin (-0,2)$:

$$\sin (\arcsin (-0,2))=-0,2\text{и}\cos (\arcsin (-0,2))=$$

$$=\sqrt{1-(-0,2{)}^2}=\sqrt{0,96}=\frac{4\sqrt{6}}{5}\mathrm{.}$$

Для $\arccos \frac{1}{3}$:

$$\cos (\arccos \frac{1}{3})=\frac{1}{3}\text{и}\sin (\arccos \frac{1}{3})=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление значений тангенсов и котангенсов

Для $\arcsin (-0,2)$:

$${\mathrm{ctg}}^2(\arcsin (-0,2))=\frac{{\cos }^2(\arcsin (-0,2))}{{\sin }^2(\arcsin (-0,2))}=\frac{{\left(\frac{4\sqrt{6}}{5}\right)}^2}{(-0,2{)}^2}=\frac{96}{25}\cdot \frac{25}{1}=24.$$

Для $\arccos \frac{1}{3}$:

$${\mathrm{tg}}^2(\arccos \frac{1}{3})=\frac{{\sin }^2(\arccos \frac{1}{3})}{{\cos }^2(\arccos \frac{1}{3})}=\frac{{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{8}{9}\cdot 9=8.$$

Шаг 3: Разность чисел

Теперь находим разность между числами:

$$d=24-8=16.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: 16.

Итоговые ответы:

а) 1

б) 12

в) 5

г) 16