ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2x^3 — x + 4 = 10x^2 + 2\cos(\arccos(0,5x — 3))$;

б) $\sin(\arcsin(5x — 4)) = \sqrt{10x + 16}$

а) $2x^3 — x + 4 = 10x^2 + 2\cos(\arccos(0,5x — 3))$;

$$2x^3 — x + 4 = 10x^2 + 2(0,5x — 3);$$ $$2x^3 — x + 4 = 10x^2 + x — 6;$$ $$2x^3 — 10x^2 — 2x + 10 = 0;$$ $$2x^2(x — 5) — 2(x — 5) = 0;$$ $$2(x^2 — 1)(x — 5) = 0;$$ $$x_1 = \pm 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 0,5x — 3 \leq 1;$$ $$2 \leq 0,5x \leq 4;$$ $$4 \leq x \leq 8;$$

Ответ: $x = 5$.

б) $\sin(\arcsin(5x — 4)) = \sqrt{10x + 16}$;

$$5x — 4 = \sqrt{10x + 16};$$ $$(5x — 4)^2 = 10x + 16;$$ $$25x^2 — 40x + 16 = 10x + 16;$$ $$25x^2 — 50x = 0;$$ $$25x(x — 2) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 5x — 4 \leq 1;$$ $$3 \leq 5x \leq 5;$$ $$0,6 \leq x \leq 1;$$

Ответ: корней нет.

а) $2x^3 — x + 4 = 10x^2 + 2\cos(\arccos(0,5x — 3))$;

Шаг 1: Упрощение выражения

Для начала упростим выражение $2x^3 — x + 4 = 10x^2 + 2\cos(\arccos(0,5x — 3))$.

Используем свойство косинуса и арккосинуса: $\cos(\arccos \theta) = \theta$, так что:

$$\cos(\arccos(0,5x — 3)) = 0,5x — 3.$$

Теперь у нас получается:

$$2x^3 — x + 4 = 10x^2 + 2(0,5x — 3).$$

Раскроем скобки на правой части:

$$2x^3 — x + 4 = 10x^2 + x — 6.$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону

Теперь все члены перенесем на одну сторону уравнения:

$$2x^3 — x + 4 — 10x^2 — x + 6 = 0.$$

Преобразуем это:

$$2x^3 — 10x^2 — 2x + 10 = 0.$$

Шаг 3: Факторизация

Теперь факторизуем полученное уравнение:

$$2x^3 — 10x^2 — 2x + 10 = 0.$$

Мы можем выделить общий множитель $2$:

$$2(x^3 — 5x^2 — x + 5) = 0.$$

Теперь раскроем скобки:

$$x^3 — 5x^2 — x + 5 = 0.$$

Шаг 4: Факторизация кубического многочлена

Попробуем выделить общий множитель:

$$x^3 — 5x^2 — x + 5 = (x^2 — 1)(x — 5).$$

Таким образом, у нас получилось:

$$(x^2 — 1)(x — 5) = 0.$$

Далее можно разложить $x^2 — 1$ как разность квадратов:

$$(x — 1)(x + 1)(x — 5) = 0.$$

Шаг 5: Нахождение корней уравнения

Теперь находим корни:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 5.$$

Шаг 6: Ограничения на $x$

Вспоминаем, что выражение содержит $\arccos(0,5x — 3)$, и арккосинус определен для значений аргумента в пределах от $-1$ до $1$:

$$-1 \leq 0,5x — 3 \leq 1.$$

Решим это неравенство:

$$-1 \leq 0,5x — 3 \quad \text{и} \quad 0,5x — 3 \leq 1.$$

Добавим 3 к обоим частям:

$$2 \leq 0,5x \leq 4.$$

Умножим все части неравенства на 2:

$$4 \leq x \leq 8.$$

Шаг 7: Проверка корней

Проверяем найденные корни в интервале $[4, 8]$:

$x_1 = 1$ не входит в этот интервал.

$x_2 = -1$ не входит в этот интервал.

$x_3 = 5$ входит в этот интервал.

Ответ: $x = 5$.

б) $\sin(\arcsin(5x — 4)) = \sqrt{10x + 16}$;

Шаг 1: Упрощение выражений

Мы видим, что на левой стороне у нас есть $\sin(\arcsin(5x — 4))$. Используя свойство, что $\sin(\arcsin \theta) = \theta$, получаем:

$$5x — 4 = \sqrt{10x + 16}.$$

Шаг 2: Возведение в квадрат

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$(5x — 4)^2 = 10x + 16.$$

Раскроем квадрат на левой части:

$$(5x — 4)(5x — 4) = 25x^2 — 40x + 16.$$

Таким образом, получаем:

$$25x^2 — 40x + 16 = 10x + 16.$$

Шаг 3: Перенос всех членов на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$25x^2 — 40x + 16 — 10x — 16 = 0.$$

Упрощаем:

$$25x^2 — 50x = 0.$$

Теперь выносим общий множитель $25x$:

$$25x(x — 2) = 0.$$

Шаг 4: Нахождение корней

Из этого уравнения получаем два корня:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2.$$

Шаг 5: Ограничения на $x$

Так как на левой стороне у нас $\arcsin(5x — 4)$, то выражение $5x — 4$ должно лежать в интервале от $-1$ до $1$:

$$-1 \leq 5x — 4 \leq 1.$$

Решаем это неравенство:

$$3 \leq 5x \leq 5.$$

Делим на 5:

$$0,6 \leq x \leq 1.$$

Шаг 6: Проверка корней

Проверяем найденные корни:

$x_1 = 0$ не входит в интервал $[0,6, 1]$.

$x_2 = 2$ не входит в интервал $[0,6, 1]$.

Ответ: корней нет.

Итоговые ответы:

а) $x = 5$

б) корней нет