ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos x = \frac{1}{2}$;

б) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

а) $\cos x = \frac{1}{2}$;

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$x = \pm \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$x = \pm \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

а) $\cos x = \frac{1}{2}$;

Шаг 1: Решение уравнения

Мы решаем уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Известно, что $\cos x = \frac{1}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{3}$, так как косинус угла равен $\frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$ в пределах одного периода $[0, 2\pi]$.

Теперь обобщим решение, так как функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$. То есть решения уравнения будут иметь вид:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные значения $x$ на всем множестве чисел.

Шаг 2: Уточнение решения

Мы можем заметить, что по определению косинуса в любом периоде решение будет одинаковым, но $x = \pm \frac{\pi}{3}$ с учетом множителя $2\pi n$ будет давать нам все возможные решения, где $n$ — любое целое число.

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Шаг 1: Решение уравнения

Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что косинус угла равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $x = \pm \frac{3\pi}{4}$ в пределах интервала $[0, 2\pi]$, так как:

$$\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Как и в предыдущем случае, учитывая, что косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, можно записать общее решение:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) + 2\pi n.$$

Здесь мы используем факт, что:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}.$$

Подставляем это в выражение для решения:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Шаг 1: Решение уравнения

Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что косинус угла равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $x = \pm \frac{5\pi}{6}$ в пределах интервала $[0, 2\pi]$, так как:

$$\cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Как и в предыдущих случаях, учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение будет выглядеть следующим образом:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) + 2\pi n.$$

Зная, что:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6},$$

подставляем это значение:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Шаг 1: Решение уравнения

Решаем уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что косинус угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $x = \pm \frac{\pi}{4}$ в пределах интервала $[0, 2\pi]$, так как:

$$\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Как и в предыдущих случаях, учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение будет выглядеть следующим образом:

$$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n.$$

Зная, что:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4},$$

подставляем это значение:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

в) $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

г) $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$