ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $6 \sin^2 x + \sin x = 2$;

б) $3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$

а) $6 \sin^2 x + \sin x = 2$;

$$6 \sin^2 x + \sin x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$6y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3};$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\sin x = -\frac{2}{3};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $x_1 = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n; \, x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$

б) $3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$;

$$3 — 3 \sin^2 x = 7 \sin x + 7;$$ $$3 \sin^2 x + 7 \sin x + 4 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$3y^2 + 7y + 4 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-7 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3};$$ $$y_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1;$$

Первое значение:

$$\sin x = -\frac{4}{3};$$

нет корней;

Второе значение:

$$\sin x = -1;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$

а) $6 \sin^2 x + \sin x = 2$

Шаг 1: Перепишем уравнение в стандартной форме

Начнем с преобразования исходного уравнения:

$$6 \sin^2 x + \sin x = 2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$6 \sin^2 x + \sin x — 2 = 0.$$

Теперь это стандартное квадратное уравнение относительно $\sin x$.

Шаг 2: Замена переменной

Для удобства вводим замену:

$$y = \sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$6y^2 + y — 2 = 0.$$

Шаг 3: Нахождение дискриминанта

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D$ квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ выглядит так:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае:

$$a = 6, \quad b = 1, \quad c = -2.$$

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49.$$

Шаг 4: Нахождение корней уравнения

Теперь, зная дискриминант, можем найти корни уравнения. Формула для корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $a = 6$, $b = 1$, $D = 49$:

$$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3},$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 5: Решения для $\sin x$

Теперь, возвращаясь к переменной $\sin x = y$, получаем два уравнения:

$\sin x = -\frac{2}{3}$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Для первого уравнения $\sin x = -\frac{2}{3}$:

Решим уравнение для $\sin x = -\frac{2}{3}$. Мы знаем, что для любого $y$ синус имеет два решения, одно в первой и четвертой четверти, и другое — в третьей и второй. Это означает, что общее решение для $\sin x = -\frac{2}{3}$ будет:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$$

Мы знаем, что $\arcsin \frac{2}{3}$ — это значение угла в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$, и его числовое значение можно найти через калькулятор. Но оставим это в виде:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$$

Для второго уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$:

Синус равен $\frac{1}{2}$ при углах $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi — \frac{\pi}{6}$. Общее решение для $\sin x = \frac{1}{2}$ будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 6: Ответ

Итак, решение для $x$:

$$x_1 = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n, \quad x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

б) $3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1)$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Начнем с преобразования уравнения:

$$3 \cos^2 x = 7 (\sin x + 1).$$

Раскрываем скобки:

$$3 \cos^2 x = 7 \sin x + 7.$$

Заменим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$, используя тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$3 (1 — \sin^2 x) = 7 \sin x + 7.$$

Раскрываем скобки:

$$3 — 3 \sin^2 x = 7 \sin x + 7.$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$3 \sin^2 x + 7 \sin x + 4 = 0.$$

Шаг 2: Замена переменной

Для удобства вводим замену $y = \sin x$, тогда уравнение принимает вид:

$$3y^2 + 7y + 4 = 0.$$

Шаг 3: Нахождение дискриминанта

Находим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1.$$

Шаг 4: Нахождение корней

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $a = 3$, $b = 7$, $D = 1$:

$$y_1 = \frac{-7 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3},$$ $$y_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1.$$

Шаг 5: Рассмотрим полученные значения

$y_1 = -\frac{4}{3}$. Косинус и синус не могут быть меньше $-1$ или больше $1$, поэтому это значение не имеет решения.

$y_2 = -1$. Решаем уравнение для $\sin x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 6: Ответ

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $x_1 = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n, \, x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

б) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$