ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2 \frac{3x}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x — \cos^2 \frac{3x}{4} + 1$;

б) $\cos^2 2x — 1 — \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin^2 2x$

а) $\sin^2 \frac{3x}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x — \cos^2 \frac{3x}{4} + 1$;

$$\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1;$$ $$1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1;$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\cos^2 2x — 1 — \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin^2 2x$;

$$\cos^2 2x + \sin^2 2x — 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x;$$ $$1 — 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x;$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

а) $\sin^2 \frac{3x}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x — \cos^2 \frac{3x}{4} + 1$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Исходное уравнение:

$$\sin^2 \frac{3x}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x — \cos^2 \frac{3x}{4} + 1.$$

Преобразуем уравнение, используя тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. Таким образом, выражение $\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} = 1$, и уравнение преобразуется в:

$$1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1.$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Упростим правую часть:

$$1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1.$$

Теперь вычитаем 1 с обеих сторон уравнения:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x.$$

Таким образом, мы получаем уравнение:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 3: Решение уравнения для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Известно, что $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $x = \frac{5\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$ на интервале $[0, 2\pi]$. Таким образом, общее решение для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ будет:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n.$$

Так как $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, подставляем это значение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.

б) $\cos^2 2x — 1 — \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin^2 2x$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Исходное уравнение:

$$\cos^2 2x — 1 — \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin^2 2x.$$

Используем тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ для выражения $\cos^2 2x + \sin^2 2x$, и это выражение будет равно 1. Тогда уравнение примет вид:

$$\cos^2 2x + \sin^2 2x — 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x.$$

Подставляем $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$:

$$1 — 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x.$$

Таким образом, уравнение упрощается:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x.$$

Шаг 2: Решение уравнения для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, решая уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, мы знаем, что косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $x = \pi — \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi + \frac{\pi}{6}$ на интервале $[0, 2\pi]$. Общее решение для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ будет:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$

б) $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$