ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x = 0$;

б) $\operatorname{tg} x = -2$;

в) $\operatorname{tg} x = -3$;

г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$

а) $\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$;
Ответ: $x = \pi n$.

б) $\operatorname{tg} x = -2$;
$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$;
Ответ: $x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

в) $\operatorname{tg} x = -3$;
$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$;
Ответ: $x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$.

г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$;
$x = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$;
Ответ: $x = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$.

Обратите внимание, что для уравнения $\operatorname{tg} x = a$ общее решение имеет вид:

$$x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

где $\operatorname{arctg}(a)$ — это главный угол, для которого тангенс равен $a$, а $n$ — целое число, которое отвечает за периодичность функции $\operatorname{tg} x$ с периодом $\pi$.

а) $\operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}(0)$.

Тангенс угла равен 0, когда сам угол равен 0. Это из-за того, что:

$$\operatorname{tg}(0) = 0$$

Следовательно:

$$x_0 = 0$$

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = 0$ будет:

$$x = 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \pi n$$

б) $\operatorname{tg} x = -2$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}(-2)$.

Значение $\operatorname{arctg}(-2)$ — это угол, тангенс которого равен $-2$. Мы не можем выразить этот угол в виде стандартной функции, как, например, $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, поэтому его нужно оставить в виде $\operatorname{arctg}(-2)$, который является числовым значением.

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = -2$ будет:

$$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$$

в) $\operatorname{tg} x = -3$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}(-3)$.

Значение $\operatorname{arctg}(-3)$ — это угол, тангенс которого равен $-3$. Это значение тоже не является стандартным углом, который можно выразить через известные значения тригонометрических функций, но оно существует и равно числовому значению $\operatorname{arctg}(-3)$.

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = -3$ будет:

$$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$$

г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Найдем основной угол $x_0 = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right)$.

Значение $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right)$ — это угол, тангенс которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол также не является стандартным, поэтому его выражаем через $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right)$.

Шаг 2: Запишем общее решение.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$, поэтому общее решение для уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$ будет:

$$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \pi n$
б) $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$
в) $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$
г) $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$