ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = 1$;

б) $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$;

в) $\operatorname{ctg} x = 0$;

г) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

а) $\operatorname{ctg} x = 1$;
$x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$;
$x = \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

в) $\operatorname{ctg} x = 0$;
$x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Задача а) $\operatorname{ctg} x = 1$

Определение исходного уравнения:
У нас дано уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = 1$$

$\operatorname{ctg} x$ — это котангенс угла $x$, который является обратной величиной к тангенсу:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

Таким образом, из уравнения получаем:

$$\frac{1}{\tan x} = 1$$

Следовательно, тангенс угла $x$ равен 1:

$$\tan x = 1$$

Решение уравнения $\tan x = 1$:
Тангенс угла равен 1 при:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это базовое решение для тангенса, потому что $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, а функция тангенса периодична с периодом $\pi$. Поэтому, добавляя $\pi n$, мы получаем все решения.

Ответ:
Таким образом, решение уравнения $\operatorname{ctg} x = 1$ будет:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача б) $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$

Определение исходного уравнения:
У нас дано уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$$

Из определения котангенса:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

Подставим это в уравнение:

$$\frac{1}{\tan x} = \sqrt{3}$$

Следовательно, тангенс угла $x$ равен:

$$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Решение уравнения $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
Тангенс угла равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ при:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это базовое решение для тангенса, так как $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, а функция тангенса периодична с периодом $\pi$. Поэтому все решения выражаются как $\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:
Таким образом, решение уравнения $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$ будет:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача в) $\operatorname{ctg} x = 0$

Определение исходного уравнения:
У нас дано уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = 0$$

Из определения котангенса:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

Подставим это в уравнение:

$$\frac{1}{\tan x} = 0$$

Это уравнение означает, что тангенс угла $x$ должен быть бесконечно большим, то есть:

$$\tan x = \infty$$

Это происходит, когда $x$ равно $\frac{\pi}{2} + \pi n$, поскольку тангенс стремится к бесконечности в этих точках.

Решение уравнения $\tan x = \infty$:
Тангенс стремится к бесконечности при:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это базовое решение для тангенса.

Ответ:
Таким образом, решение уравнения $\operatorname{ctg} x = 0$ будет:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача г) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Определение исходного уравнения:
У нас дано уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Из определения котангенса:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

Подставим это в уравнение:

$$\frac{1}{\tan x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Следовательно, тангенс угла $x$ равен:

$$\tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Решение уравнения $\tan x = \sqrt{3}$:
Тангенс угла равен $\sqrt{3}$ при:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это базовое решение для тангенса, так как $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, а функция тангенса периодична с периодом $\pi$.

Ответ:
Таким образом, решение уравнения $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ будет:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$