ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$;

б) $\operatorname{ctg} x = -1$;

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $\operatorname{ctg} x = -5$

а) $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$;
$x = \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$;
$x = \pi — \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n = \pi — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} x = -1$;
$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$;
$x = \pi — \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n$;
$x = \pi — \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$;
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} x = -5$;
$x = \operatorname{arcctg}(-5) + \pi n = \pi — \operatorname{arcctg} 5 + \pi n$;
Ответ: $x = \pi — \operatorname{arcctg} 5 + \pi n$.

а) $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$

Запишем исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$$

Нам нужно найти все возможные значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

Вспомним, что $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tg x}$. Тогда уравнение можно переписать как:

$$\frac{1}{\tg x} = -\sqrt{3}$$

Или

$$\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Рассмотрим, при каких значениях угла $x$ $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Известно, что $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно, если $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то $x$ будет равно:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку тангенс имеет период $\pi$.

Упростим выражение:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{6\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

б) $\operatorname{ctg} x = -1$

Запишем исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = -1$$

Это означает, что $\frac{1}{\tg x} = -1$, или $\tg x = -1$.

Найдем, при каких значениях угла $x$ $\tg x = -1$.

Известно, что $\tg \frac{\pi}{4} = 1$, следовательно, для $\tg x = -1$ значение угла будет:

$$x = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Упростим выражение:

$$x = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Запишем исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Это означает, что $\frac{1}{\tg x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, или $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим, при каких значениях угла $x$ $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Известно, что $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно, для $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ значение угла будет:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Упростим выражение:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{6\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

г) $\operatorname{ctg} x = -5$

Запишем исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = -5$$

Это означает, что $\frac{1}{\tg x} = -5$, или $\tg x = -\frac{1}{5}$.

Рассмотрим, при каких значениях угла $x$ $\tg x = -\frac{1}{5}$.

Поскольку $\tg x = -\frac{1}{5}$ — это конкретное значение, которое не совпадает с каким-то стандартным углом, используем обратную функцию $\operatorname{arcctg}$. Тогда получаем:

$$x = \operatorname{arcctg}(-5) + \pi n$$

Поскольку $\operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$, мы добавляем $\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \pi — \operatorname{arcctg} 5 + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$

б) $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

в) $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

г) $x = \pi — \operatorname{arcctg} 5 + \pi n$