ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$;

б) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$;

в) $4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$;

г) $3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$

а) $\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$;
$(\operatorname{tg} x + \sqrt{3})(\operatorname{tg} x — \sqrt{3}) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0$;
$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$;
$x = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0$;
$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x \cdot (2 \operatorname{tg} x + 3) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;
$2 \operatorname{tg} x = -3$;
$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$;

Ответ: $x_1 = \pi n$; $x_2 = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$.

в) $4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$;
$(2 \operatorname{tg} x + 3)(2 \operatorname{tg} x — 3) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;
$2 \operatorname{tg} x = -3$;
$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$;
$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$;
$2 \operatorname{tg} x = 3$;
$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$;

Ответ: $x = \pm \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$.

г) $3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x \cdot (3 \operatorname{tg} x — 2) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$;
$3 \operatorname{tg} x = 2$;
$\operatorname{tg} x = \frac{2}{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$;

Ответ: $x_1 = \pi n$; $x_2 = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$.

а) $\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Уравнение имеет вид:

$$\operatorname{tg}^2 x — 3 = 0$$

Переносим $3$ на правую сторону:

$$\operatorname{tg}^2 x = 3$$

Теперь нам нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон:

$$\operatorname{tg} x = \pm \sqrt{3}$$

Шаг 2: Разбираем два случая

Случай 1: $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$

Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, поэтому:

$$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как тангенс имеет период $\pi$. Следовательно:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Случай 2: $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$

Известно, что $\operatorname{tg} \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$, то есть:

$$x = \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, общий вид решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

б) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$$

Вынесем общий множитель $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x (2 \operatorname{tg} x + 3) = 0$$

Шаг 2: Разбираем два случая

Случай 1: $\operatorname{tg} x = 0$

Известно, что $\operatorname{tg} 0 = 0$, следовательно:

$$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$$

Случай 2: $2 \operatorname{tg} x + 3 = 0$

Преобразуем уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x = -3$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$$

Тогда:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x_1 = \pi n, \quad x_2 = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

в) $4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$4 \operatorname{tg}^2 x — 9 = 0$$

Переносим $9$ на правую сторону:

$$4 \operatorname{tg}^2 x = 9$$

Делим обе стороны на 4:

$$\operatorname{tg}^2 x = \frac{9}{4}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\operatorname{tg} x = \pm \frac{3}{2}$$

Шаг 2: Разбираем два случая

Случай 1: $\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$

Известно, что:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

Случай 2: $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$

Известно, что:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x = \pm \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

г) $3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$3 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x = 0$$

Вынесем общий множитель $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x (3 \operatorname{tg} x — 2) = 0$$

Шаг 2: Разбираем два случая

Случай 1: $\operatorname{tg} x = 0$

Известно, что $\operatorname{tg} 0 = 0$, следовательно:

$$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$$

Случай 2: $3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$

Преобразуем уравнение:

$$3 \operatorname{tg} x = 2$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{2}{3}$$

Тогда:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x_1 = \pi n, \quad x_2 = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x_1 = \pi n$; $x_2 = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$

в) $x = \pm \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$

г) $x_1 = \pi n$; $x_2 = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$