ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

б) $\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$

а) $\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 6y + 5 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = 1;$$ $$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 5;$$ $$x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n;$$

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n; \, x_2 = \operatorname{arctg} 5 + \pi n.$

б) $\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -1;$$ $$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 3;$$ $$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$

Ответ: $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \, x_2 = \operatorname{arctg} 3 + \pi n.$

а) $\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Исходное уравнение имеет вид:

$$\operatorname{tg}^2 x — 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

Это уравнение является квадратным относительно функции $\operatorname{tg} x$. Чтобы упростить его решение, введем замену переменной:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения $y^2 — 6y + 5 = 0$, используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. Подставим эти значения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь, когда мы знаем, что $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$, возвращаемся к переменной $\operatorname{tg} x$ и решаем два уравнения.

Для $\operatorname{tg} x = 1$:

Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, поэтому:

$$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как тангенс имеет период $\pi$.

Для $\operatorname{tg} x = 5$:

Для $\operatorname{tg} x = 5$ решение также можно записать как:

$$x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n$$

где $\operatorname{arctg} 5$ — это значение угла, тангенс которого равен 5.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, общий ответ:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = \operatorname{arctg} 5 + \pi n$$

б) $\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Исходное уравнение:

$$\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x — 3 = 0$$

Введем замену переменной $y = \operatorname{tg} x$. Уравнение примет вид:

$$y^2 — 2y — 3 = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Для решения уравнения $y^2 — 2y — 3 = 0$ также используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. Подставляем значения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Находим их по формуле:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь решим для $x$ два уравнения.

Для $\operatorname{tg} x = -1$:

Известно, что $\operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$, следовательно:

$$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $\operatorname{tg} x = 3$:

Для $\operatorname{tg} x = 3$ решение будет:

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = \operatorname{arctg} 5 + \pi n$

б) $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$