ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

г) $\cos 4x = 0$

а) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

$$\frac{x}{3} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = 3 \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm 2\pi + 6\pi n;$$

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n$.

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

$$\frac{x}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = 4 \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

г) $\cos 4x = 0$;

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

а) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, у нас есть:

$$2x = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение для $2x$ будет:

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $(-1)^n$ учитывает, что синус имеет положительное значение в первом и втором квадранте, а $\pi n$ — это добавление периодичности для синуса, которая равна $2\pi$.

Шаг 2: Разделим на 2

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$$

Решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, решение:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$$

Известно, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, следовательно, решение для $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ будет:

$$\frac{x}{3} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

где $2\pi n$ — это периодичность косинуса.

Шаг 2: Упростим

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$\frac{x}{3} = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n$$

Упростим:

$$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3: Умножим на 3

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:

$$x = 3 \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$$

Таким образом:

$$x = \pm 2\pi + 6\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = \pm 2\pi + 6\pi n$$

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, следовательно, решение для $\sin \theta = \frac{1}{2}$ будет:

$$\frac{x}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n$$

где $(-1)^n$ учитывает, что синус имеет значение $\frac{1}{2}$ в первом и втором квадранте, а $\pi n$ — это периодичность синуса.

Шаг 2: Подставим значение

Так как $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$\frac{x}{4} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 3: Умножим на 4

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 4:

$$x = 4 \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$$

Таким образом:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

г) $\cos 4x = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\cos 4x = 0$$

Известно, что $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, и так как период косинуса равен $2\pi$, то решение для $\cos \theta = 0$ будет:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 2: Разделим на 4

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$

Таким образом:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

б) $x = \pm 2\pi + 6\pi n$

в) $x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

г) $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$