ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:$\cos 4x = 0$

а) $\sin (-\frac{x}{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $\cos (-2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\mathrm{tg}(-4x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

г) $\mathrm{ctg}(-\frac{x}{2})=1$

а)

$$\sin \left( -\frac{x}{3} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$-\sin \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = 3 \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n;$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n.$$

б)

$$\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n;$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

в)

$$\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$-\tg 4x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\tg 4x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$4x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{\pi}{6} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

г)

$$\ctg \left( -\frac{x}{2} \right) = 1;$$ $$-\ctg \frac{x}{2} = 1;$$ $$\ctg \frac{x}{2} = -1;$$ $$\frac{x}{2} = \pi — \arcctg 1 + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

а) $\sin \left( -\frac{x}{3} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Применим свойство синуса

Мы имеем уравнение:

$$\sin \left( -\frac{x}{3} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Известно, что синус — это нечетная функция, то есть:

$$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$$

Применяя это свойство, получаем:

$$-\sin \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$\sin \frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Используем обратную функцию синуса

Теперь, чтобы решить уравнение, нам нужно найти угол, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, если $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$$\theta = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $(-1)^{n+1}$ учитывает, что синус принимает значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в третьем и четвертом квадранте, а $\pi n$ — это периодичность функции синуса (период синуса равен $2\pi$).

Шаг 3: Переводим в $x$

Теперь, возвращаясь к переменной $x$, мы имеем:

$$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Умножим обе стороны на 3, чтобы выразить $x$:

$$x = 3 \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$$

Таким образом:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$$

б) $\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Используем свойство косинуса

Известно, что косинус — это четная функция, то есть:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$$

Следовательно, уравнение можно записать как:

$$\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Решаем для $2x$

Теперь решаем уравнение $\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, для $\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ углы будут:

$$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$2x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3: Разделим на 2

Теперь, чтобы найти $x$, делим обе стороны на 2:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n$$

в) $\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 1: Используем свойство тангенса

Известно, что тангенс — это нечетная функция, то есть:

$$\tg(-\theta) = -\tg(\theta)$$

Таким образом, уравнение становится:

$$-\tg 4x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Или:

$$\tg 4x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Решаем для $4x$

Теперь решаем уравнение $\tg 4x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Известно, что:

$$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Следовательно:

$$4x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 3: Разделим на 4

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе стороны на 4:

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{\pi}{6} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

г) $\ctg \left( -\frac{x}{2} \right) = 1$

Шаг 1: Используем свойство котангенса

Известно, что котангенс — это нечетная функция, то есть:

$$\ctg(-\theta) = -\ctg(\theta)$$

Таким образом, уравнение становится:

$$-\ctg \frac{x}{2} = 1$$

Или:

$$\ctg \frac{x}{2} = -1$$

Шаг 2: Решаем для $\frac{x}{2}$

Теперь решаем уравнение $\ctg \frac{x}{2} = -1$. Известно, что:

$$\ctg \frac{\pi}{4} = 1$$

Следовательно:

$$\frac{x}{2} = \pi — \arcctg 1 + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 3: Умножим на 2

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе стороны на 2:

$$x = 2 \cdot \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$

б) $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n$

в) $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$

г) $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$