ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos x = \frac{1}{3}$;

б) $\cos x = -1,1$;

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

а) $\cos x = \frac{1}{3}$;

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

б) $\cos x = -1,1$;

$$-1,1 < -1.$$

Ответ: корней нет.

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

$$x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right) + 2\pi n; x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + 2\pi n.$$

г) $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

$$5 > 4; \sqrt{5} > 2; \frac{\sqrt{5}}{2} > 1.$$

Ответ: корней нет.

а) $\cos x = \frac{1}{3}$;

Шаг 1: Общее решение

Для начала решаем уравнение $\cos x = \frac{1}{3}$. Мы знаем, что функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, и на интервале $[0, 2\pi]$ у этого уравнения есть два решения: одно в первой половине периода и одно в третьей.

Известно, что $\cos^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$ — это угол, косинус которого равен $\frac{1}{3}$. Мы можем записать решение как:

$$x = \arccos \left( \frac{1}{3} \right).$$

Однако косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, поэтому у нас есть ещё одно решение на интервале $[0, 2\pi]$, которое получается из симметрии функции косинуса:

$$x = -\arccos \left( \frac{1}{3} \right).$$

Шаг 2: Общие решения

Кроме того, так как косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, все решения можно записать в виде:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные значения $x$ на всем множестве чисел.

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$.

б) $\cos x = -1,1$;

Шаг 1: Проверка существования корней

Рассмотрим уравнение $\cos x = -1,1$. Мы видим, что $-1,1$ — это значение, которое не лежит в диапазоне значений косинуса. Напоминаем, что косинус любого угла всегда лежит в пределах от $-1$ до $1$, то есть для любого $x$ выполняется неравенство:

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Таким образом, $\cos x = -1,1$ не имеет решений, так как $-1,1$ не находится в этом диапазоне.

Шаг 2: Ответ

Ответ: корней нет.

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

Шаг 1: Общее решение

Для уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ мы знаем, что значение $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ лежит в диапазоне значений косинуса, так как:

$$-\frac{\sqrt{5}}{3} \approx -0.745 \quad \text{и} \quad -1 \leq -0.745 \leq 1.$$

Следовательно, для такого значения $\cos x$ решение существует. Чтобы найти общее решение, используем арккосинус, который даёт угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{5}}{3}$. То есть:

$$x = \arccos \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right).$$

Так как косинус является симметричной функцией, второе решение будет в третьей четверти:

$$x = 2\pi — \arccos \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right).$$

Шаг 2: Обобщение решения

Так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, общее решение будет:

$$x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right) + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число.

Шаг 3: Уточнение решения

Кроме того, можно выразить решение с учетом симметрии косинуса:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + 2\pi n.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + 2\pi n$.

г) $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

Шаг 1: Проверка существования решения

Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Мы знаем, что значение $\frac{\sqrt{5}}{2}$ больше $1$, так как:

$$\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118 \quad \text{и} \quad \frac{\sqrt{5}}{2} > 1.$$

Но косинус угла не может быть больше 1, так как его значения ограничены интервалом $[-1, 1]$.

Шаг 2: Ответ

Так как $\frac{\sqrt{5}}{2}$ выходит за пределы диапазона значений косинуса, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

Итоговые ответы:

а) $x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$

б) корней нет

в) $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + 2\pi n$

г) корней нет