ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3}$

б) $\sqrt{3} \, \operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 3$

в) $2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$

г) $\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})+1=0$

а)

$$2 \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3};$$ $$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Первое значение:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = 2\pi n;$$ $$x = 4\pi n;$$

Второе значение:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{4\pi}{6} + 4\pi n = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ:

$$x_1 = 4\pi n; \, x_2 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

б)

$$\sqrt{3} \, \operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 3;$$ $$\operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3};$$ $$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n;$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n.$$

в)

$$2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2};$$ $$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$3x — \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\pi}{4} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Если $n = 2k$, тогда:

$$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k;$$ $$3x = 2\pi k;$$ $$x = \frac{2\pi k}{3};$$

Если $n = 2k + 1$, тогда:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi;$$ $$3x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k + \pi;$$ $$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3};$$

Ответ:

$$x_1 = \frac{2\pi k}{3}; \, x_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}.$$

г)

$$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 0;$$ $$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = -1;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = -\pi + \frac{\pi}{3} + 4\pi n = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ:

$$x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

а) $2 \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$2 \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3}$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Решение для аргумента косинуса

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n$$

где $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, и $n$ — целое число, которое учитывает периодичность косинуса.

Подставляем:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3: Разбираем два случая

Первый случай ($+$):

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Добавим $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям:

$$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Умножим обе стороны на 2:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Второй случай ($—$):

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Добавим $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям:

$$\frac{x}{2} = 2\pi n$$

Умножим обе стороны на 2:

$$x = 4\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, решения уравнения:

$$x_1 = 4\pi n; \quad x_2 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

б) $\sqrt{3} \, \operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 3$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\sqrt{3} \, \operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 3$$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Решение для угла

Известно, что:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$

Следовательно:

$$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Решаем для $\frac{x}{3}$

Теперь вычитаем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей:

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Упрощаем:

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Умножим обе стороны на 3:

$$x = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$$

в) $2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Используем обратную функцию синуса

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$3x — \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 3: Разбираем два случая

Если $n = 2k$, тогда:

$$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$$

Добавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям:

$$3x = 2\pi k$$

Умножаем обе стороны на $\frac{1}{3}$:

$$x = \frac{2\pi k}{3}$$

Если $n = 2k + 1$, тогда:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi$$

Добавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям:

$$3x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k + \pi$$

Умножаем обе стороны на $\frac{1}{3}$:

$$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x_1 = \frac{2\pi k}{3}; \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$$

г) $\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 0$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 0$$

Вычитаем 1 из обеих сторон:

$$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} \right) = -1$$

Шаг 2: Решение для угла

Известно, что:

$$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

Следовательно:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 3: Решаем для $\frac{x}{2}$

Теперь добавим $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям:

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Упрощаем:

$$\frac{x}{2} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Умножаем обе стороны на 2:

$$x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x_1 = 4\pi n; \, x_2 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

б) $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$

в) $x_1 = \frac{2\pi k}{3}; \, x_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$

г) $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$