ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{1}{2}, \, x \in [1; 6]$;

б) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$;

в) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2; 10]$;

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$

а) $\cos x = \frac{1}{2}, \, x \in [1; 6]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.

б) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$$ $$x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4};$$ $$x_5 = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}$.

в) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2; 10]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3};$$ $$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3};$$ $$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$.

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = -\frac{5\pi}{4};$$ $$x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{3\pi}{4};$$ $$x_3 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$$ $$x_4 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4};$$

Ответ: $\pm \frac{3\pi}{4}; \pm \frac{5\pi}{4}$.

а) $\cos x = \frac{1}{2}, \, x \in [1; 6]$

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала рассмотрим решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$.

Известно, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Следовательно, решение этого уравнения будет в виде:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку период косинуса равен $2\pi$.

Шаг 2: Находим значения на отрезке $x \in [1; 6]$

Теперь, чтобы найти все возможные значения $x$, находим, какие из них лежат в пределах отрезка $[1; 6]$.

Первое решение:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$$

Это значение лежит в пределах отрезка $[1; 6]$.

Второе решение:

$$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5.236$$

Это значение также лежит в пределах отрезка $[1; 6]$.

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x_1 = \frac{\pi}{3}, \, x_2 = \frac{5\pi}{3}$$

б) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала рассмотрим решение уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, решение этого уравнения будет:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку период косинуса равен $2\pi$.

Шаг 2: Находим значения на отрезке $x \in \left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$

Теперь, чтобы найти все возможные значения $x$, находим, какие из них лежат в пределах отрезка $\left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$.

Первое решение:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$.

Второе решение:

$$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$.

Третье решение:

$$x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$.

Четвертое решение:

$$x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.069$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$.

Пятое решение:

$$x_5 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.781$$

Это значение также лежит в пределах отрезка $\left[-\frac{\pi}{4}; 12\right]$.

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4}, \, x_2 = \frac{\pi}{4}, \, x_3 = \frac{7\pi}{4}, \, x_4 = \frac{9\pi}{4}, \, x_5 = \frac{15\pi}{4}$$

в) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2; 10]$

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала рассмотрим решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Известно, что $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, решение этого уравнения будет:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку период косинуса равен $2\pi$.

Шаг 2: Находим значения на отрезке $x \in [2; 10]$

Теперь, чтобы найти все возможные значения $x$, находим, какие из них лежат в пределах отрезка $[2; 10]$.

Первое решение:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$

Это значение лежит в пределах отрезка $[2; 10]$.

Второе решение:

$$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.189$$

Это значение лежит в пределах отрезка $[2; 10]$.

Третье решение:

$$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.377$$

Это значение также лежит в пределах отрезка $[2; 10]$.

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3}, \, x_2 = \frac{4\pi}{3}, \, x_3 = \frac{8\pi}{3}$$

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in \left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала рассмотрим решение уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, решение этого уравнения будет:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку период косинуса равен $2\pi$.

Шаг 2: Находим значения на отрезке $x \in \left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$

Теперь, чтобы найти все возможные значения $x$, находим, какие из них лежат в пределах отрезка $\left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Первое решение:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Второе решение:

$$x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{3\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Третье решение:

$$x_3 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Четвертое решение:

$$x_4 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах отрезка $\left[-4; \frac{5\pi}{4}\right]$.

Шаг 3: Ответ

Ответ:

$$x_1 = -\frac{5\pi}{4}, \, x_2 = -\frac{3\pi}{4}, \, x_3 = \frac{3\pi}{4}, \, x_4 = \frac{5\pi}{4}$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi}{3}, \, x = \frac{5\pi}{3}$

б) $x_1 = -\frac{\pi}{4}, \, x_2 = \frac{\pi}{4}, \, x_3 = \frac{7\pi}{4}, \, x_4 = \frac{9\pi}{4}, \, x_5 = \frac{15\pi}{4}$

в) $x_1 = \frac{2\pi}{3}, \, x_2 = \frac{4\pi}{3}, \, x_3 = \frac{8\pi}{3}$

г) $x_1 = -\frac{5\pi}{4}, \, x_2 = -\frac{3\pi}{4}, \, x_3 = \frac{3\pi}{4}, \, x_4 = \frac{5\pi}{4}$