ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in [0; \pi]$;

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [-\pi; \pi]$;

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 2\pi]$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [-2\pi; \pi]$

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in [0; \pi]$;

Решения уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_2 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [-\pi; \pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{2\pi}{3};$$ $$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3}$.

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 2\pi]$;

Решения уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4};$$ $$x_2 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4};$$ $$x_3 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [-2\pi; \pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — 2\pi = -\frac{11\pi}{6};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$

Ответ: $-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}$.

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in [0; \pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала нужно решить уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Из таблицы значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Это означает, что одно из решений для $x$ на единичной окружности будет $x = \frac{\pi}{6}$.

Так как синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, мы можем добавить $2\pi n$ для каждого нового решения, где $n$ — целое число. Однако, так как нас интересует отрезок $[0; \pi]$, нам нужно найти только те решения, которые лежат в этом промежутке.

Шаг 2: Периодичность функции

На отрезке $[0; \pi]$ синус принимает значение $\frac{1}{2}$ дважды:

В первом квадранте, когда $x = \frac{\pi}{6}$.

Во втором квадранте, когда $x = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, так как $\sin(\pi — \theta) = \sin(\theta)$.

Шаг 3: Вывод решения

Таким образом, на отрезке $[0; \pi]$ у нас два решения:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [-\pi; \pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Рассмотрим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Из таблицы значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Решения для $x$ будут:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2: Периодичность функции

Так как нас интересует отрезок $[-\pi; \pi]$, давайте рассмотрим, какие значения будут лежать на этом отрезке.

Первое решение: $x = -\frac{2\pi}{3}$

Второе решение: $x = \frac{2\pi}{3}$

Решение $x = -\frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$ находятся в пределах отрезка $[-\pi; \pi]$.

Шаг 3: Вывод решения

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3}$$

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 2\pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Рассмотрим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из таблицы значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ будет в точках, где углы $x$ находятся в третьем и четвертом квадрантах. Точками пересечения будут:

$$x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$

Решения для $x$:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 2: Периодичность функции

На отрезке $[-\pi; 2\pi]$ будет несколько решений.

Первое решение: $x_1 = -\frac{\pi}{4}$

Второе решение: $x_2 = \frac{5\pi}{4}$

Третье решение: $x_3 = \frac{7\pi}{4}$

Шаг 3: Вывод решения

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$$

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [-2\pi; \pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из таблицы значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, решение для $x$:

$$x = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 2: Периодичность функции

Теперь рассмотрим отрезок $[-2\pi; \pi]$. Мы будем искать значения, которые лежат в этом отрезке.

Первое решение: $x_1 = -\frac{11\pi}{6}$

Второе решение: $x_2 = -\frac{\pi}{6}$

Третье решение: $x_3 = \frac{\pi}{6}$

Шаг 3: Вывод решения

Ответ:

$$x = -\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$

б) $\pm \frac{2\pi}{3}$

в) $-\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$

г) $-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}$