ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $\sin 3x=\frac{\sqrt{2}}{2},x\in [0;2\pi ]$

б) $\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2},x\in [-\pi ;\pi ]$

в) $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},x\in [-3\pi ;3\pi ]$

г) $\mathrm{ctg}4x=-1,x\in [0;\pi ]$

a) $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$

Решения уравнения:

$$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{12};$$ $$x_2 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4};$$ $$x_3 = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4};$$ $$x_4 = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12};$$ $$x_5 = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12};$$ $$x_6 = (-1)^5 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{20\pi}{12} = \frac{19\pi}{12};$$

Ответ: $\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}; \frac{19\pi}{12}$.

б) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [-\pi; \pi]$

Решения уравнения:

$$3x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{18} — \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = -\frac{\pi}{18};$$ $$x_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{18};$$ $$x_5 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18};$$ $$x_6 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18};$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{18}; \pm \frac{11\pi}{18}; \pm \frac{13\pi}{18}$.

в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \, x \in [-3\pi; 3\pi]$

Решения уравнения:

$$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{5\pi}{3};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3};$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}$.

г) $\operatorname{ctg} 4x = -1, \, x \in [0; \pi]$

Решения уравнения:

$$4x = -\operatorname{arcctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{4 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4} = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{16};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{7\pi}{16};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{16};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{16} + \frac{4\pi}{4} = \frac{15\pi}{16};$$

Ответ: $\frac{3\pi}{16}; \frac{7\pi}{16}; \frac{11\pi}{16}; \frac{15\pi}{16}$.

a) $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$

Шаг 1: Решение исходного уравнения

Итак, нам нужно решить уравнение $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $x \in [0; 2\pi]$.

Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому можем записать:

$$3x = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Поскольку синус имеет период $2\pi$, решения будут выглядеть как:

$$3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 3x = \pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Для второго случая:

$$\sin (\pi — \theta) = \sin \theta.$$

Таким образом, получаем:

$$3x = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Теперь у нас есть два выражения для $3x$:

$$3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Решение для $x$

Теперь, разделив обе стороны каждого уравнения на 3, получаем решение для $x$:

$$x = \frac{\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3},$$ $$x = \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Шаг 3: Подстановка значений $n$

Чтобы найти все решения на интервале $x \in [0; 2\pi]$, подставим различные значения $n$ в обе формулы.

Для первого случая $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$:

$n = 0: x = \frac{\pi}{12}$,

$n = 1: x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$,

$n = 2: x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$,

$n = 3: x = \frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$ (это значение не входит в интервал $[0; 2\pi]$).

Таким образом, решения для первого уравнения: $\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{17\pi}{12}$.

Для второго случая $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$:

$n = 0: x = \frac{\pi}{4}$,

$n = 1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$,

$n = 2: x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$,

$n = 3: x = \frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + 2\pi = \frac{27\pi}{12}$ (это значение не входит в интервал $[0; 2\pi]$).

Таким образом, решения для второго уравнения: $\frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$.

Шаг 4: Итоговые решения

Все решения на интервале $x \in [0; 2\pi]$:

$$x_1 = \frac{\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{11\pi}{12}, \quad x_5 = \frac{17\pi}{12}, \quad x_6 = \frac{19\pi}{12}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}; \frac{19\pi}{12}$.

б) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [-\pi; \pi]$

Шаг 1: Решение исходного уравнения

Итак, мы решаем уравнение $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале $x \in [-\pi; \pi]$.

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому получаем:

$$3x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \pm \frac{\pi}{6}.$$

Поскольку косинус имеет период $2\pi$, решения будут выглядеть как:

$$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Решение для $x$

Теперь, разделив обе стороны на 3, получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Шаг 3: Подстановка значений $n$

Чтобы найти все решения на интервале $x \in [-\pi; \pi]$, подставим различные значения $n$ в формулу $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$.

Для $n = 0$:

$x_1 = -\frac{\pi}{18}$,

$x_2 = \frac{\pi}{18}$.

Для $n = 1$:

$x_3 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$,

$x_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$.

Для $n = -1$:

$x_5 = -\frac{\pi}{18} — \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18}$,

$x_6 = \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18}$.

Шаг 4: Итоговые решения

Все решения на интервале $x \in [-\pi; \pi]$:

$$x_1 = -\frac{13\pi}{18}, \quad x_2 = -\frac{11\pi}{18}, \quad x_3 = -\frac{\pi}{18}, \quad x_4 = \frac{\pi}{18}, \quad x_5 = \frac{11\pi}{18}, \quad x_6 = \frac{13\pi}{18}.$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{18}; \pm \frac{11\pi}{18}; \pm \frac{13\pi}{18}$.

в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \, x \in [-3\pi; 3\pi]$

Шаг 1: Решение исходного уравнения

Итак, мы решаем уравнение $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $x \in [-3\pi; 3\pi]$.

Мы знаем, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, поэтому получаем:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Умножив обе стороны на 2, получаем:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Подстановка значений $n$

Теперь, подставим различные значения $n$ в формулу $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Для $n = -2$:

$x_1 = \frac{\pi}{3} — 4\pi = -\frac{5\pi}{3}$.

Для $n = -1$:

$x_2 = \frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3}$.

Для $n = 0$:

$x_3 = \frac{\pi}{3}$.

Для $n = 1$:

$x_4 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ (это значение не входит в интервал $[-3\pi; 3\pi]$).

Шаг 3: Итоговые решения

Все решения на интервале $x \in [-3\pi; 3\pi]$:

$$x_1 = -\frac{5\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{3}.$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}$.

г) $\operatorname{ctg} 4x = -1, \, x \in [0; \pi]$

Шаг 1: Решение исходного уравнения

Мы решаем уравнение $\operatorname{ctg} 4x = -1$ на интервале $x \in [0; \pi]$.

Мы знаем, что $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$, следовательно:

$$4x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n.$$

Так как $\operatorname{arcctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$$4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 2: Решение для $x$

Теперь, разделив обе стороны на 4, получаем:

$$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}.$$

Шаг 3: Подстановка значений $n$

Теперь, подставим различные значения $n$ в формулу $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

Для $n = 1$:

$x_1 = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{16}$.

Для $n = 2$:

$x_2 = -\frac{\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{7\pi}{16}$.

Для $n = 3$:

$x_3 = -\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{16}$.

Для $n = 4$:

$x_4 = -\frac{\pi}{16} + \pi = \frac{15\pi}{16}$.

Шаг 4: Итоговые решения

Все решения на интервале $x \in [0; \pi]$:

$$x_1 = \frac{3\pi}{16}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{16}, \quad x_3 = \frac{11\pi}{16}, \quad x_4 = \frac{15\pi}{16}.$$

Ответ: $\frac{3\pi}{16}; \frac{7\pi}{16}; \frac{11\pi}{16}; \frac{15\pi}{16}$.