ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) sin $x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-4; 4]$;

б) cos $x = 1$, $x \in [-6; 16]$

а) sin $x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-4; 4]$;

Решения уравнения:
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n;$
$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Значения на данном отрезке:
$x_1 = (-1)^{-1+1} \cdot \frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6};$
$x_2 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$
$x_3 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$; $-\frac{\pi}{6}$; $\frac{7\pi}{6}$.

б) cos $x = 1$, $x \in [-6; 16]$;

Решения уравнения:
$x = \pm \arccos 1 + 2\pi n = \pm 0 + 2\pi n = 2\pi n;$

Значения на данном отрезке:
$x_1 = 2\pi \cdot 0 = 0;$
$x_2 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi;$
$x_3 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi;$

Ответ: $0$; $2\pi$; $4\pi$.

Задача а) $\sin x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-4; 4]$

1. Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$

Мы знаем, что функция синуса имеет период $2\pi$. То есть для любого значения $x$ выполняется следующее:
$\sin(x + 2\pi n) = \sin x, \quad n \in \mathbb{Z}.$
Задано уравнение:
$\sin x = -\frac{1}{2}.$

Теперь найдем решения этого уравнения. Для этого вспомним, что:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},$
поэтому:
$\sin x = -\frac{1}{2}$
будет выполняться для углов, симметричных по отношению к оси абсцисс в третьем и четвертом квадрантах. Таким образом, углы, для которых $\sin x = -\frac{1}{2}$, это:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi — \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.$
То есть общие решения:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,$
где $k \in \mathbb{Z}$.

Для каждого $k$ мы можем получить конкретное решение. Эти решения мы записываем как:
$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$
где $n$ — целое число.

2. Найдем решения на отрезке $x \in [-4; 4]$.

Теперь подставим различные значения $n$ и проверим, какие из них попадают в интервал $[-4; 4]$.

Для этого будем использовать выражение:
$x_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$

• Для $n = -1$:

  $$x_{-1} = (-1)^{-1+1} \cdot \frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6}.$$

  Это значение лежит в интервале $[-4; 4]$, так как $-\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$, что действительно попадает в отрезок $[-4; 4]$.

• Для $n = 0$:

  $$x_0 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{6} + 0 = -\frac{\pi}{6}.$$

  Это значение также лежит в интервале $[-4; 4]$, так как $-\frac{\pi}{6} \approx -0.5236$, что лежит в пределах отрезка.

• Для $n = 1$:

  $$x_1 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}.$$

  Это значение тоже лежит в интервале $[-4; 4]$, так как $\frac{7\pi}{6} \approx 3.665$, что также находится внутри отрезка.

Теперь проверим, какие значения для $n = 2$ и более:

• Для $n = 2$:

  $$x_2 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$

  Это значение уже выходит за пределы интервала $[-4; 4]$, так как $\frac{11\pi}{6} \approx 5.759$.

Таким образом, решения, которые лежат в интервале $[-4; 4]$, это:

$$x_1 = -\frac{5\pi}{6}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{6}.$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$, $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$.

Задача б) $\cos x = 1$, $x \in [-6; 16]$

1. Решение уравнения $\cos x = 1$

Уравнение $\cos x = 1$ имеет решение в точках, где угол $x$ равен целым числам, кратным $2\pi$. Это связано с тем, что косинус функции $\cos x$ достигает значения 1 в точках $x = 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Найдем решения на отрезке $x \in [-6; 16]$.

Теперь подставим различные значения $n$ и проверим, какие из них попадают в интервал $[-6; 16]$.

• Для $n = -1$:

  $$x_{-1} = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi \approx -6.283.$$

  Это значение лежит в интервале $[-6; 16]$.

• Для $n = 0$:

  $$x_0 = 2\pi \cdot 0 = 0.$$

  Это значение также лежит в интервале $[-6; 16]$.

• Для $n = 1$:

  $$x_1 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \approx 6.283.$$

  Это значение лежит в интервале $[-6; 16]$.

• Для $n = 2$:

  $$x_2 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12.566.$$

  Это значение лежит в интервале $[-6; 16]$.

• Для $n = 3$:

  $$x_3 = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \approx 18.849.$$

  Это значение уже выходит за пределы интервала $[-6; 16]$.

Таким образом, решения, которые лежат в интервале $[-6; 16]$, это:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2\pi, \quad x_3 = 4\pi.$$

Ответ: $0$, $2\pi$, $4\pi$.