ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $\sin \frac{x}{2}=0,x\in [-12;18]$

б) $\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2},x\in [1;7]$

a) $\sin \frac{x}{2} = 0, \, x \in [-12; 18]$

Решения уравнения:

$$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin 0 + \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi;$$ $$x_2 = 2\pi \cdot 0 = 0;$$ $$x_3 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi;$$ $$x_4 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi;$$

Ответ: $-2\pi; 0; 2\pi; 4\pi.$

б) $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [1; 7]$

Решения уравнения:

$$3x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$3x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3};$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{13\pi}{12};$$ $$x_4 = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12};$$ $$x_5 = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $\frac{5\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}; \frac{19\pi}{12}; \frac{7\pi}{4}.$

a) $\sin \frac{x}{2} = 0, \, x \in [-12; 18]$

Решения уравнения:

Нам нужно решить уравнение $\sin \frac{x}{2} = 0$. Для этого вспомним, что синус равен нулю в точках, которые являются целыми кратными $\pi$. То есть:

$$\sin y = 0 \quad \text{тогда и только тогда, когда} \quad y = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, если $\frac{x}{2} = \pi n$, то:

$$\frac{x}{2} = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi n.$$

Это решение уравнения $\sin \frac{x}{2} = 0$.

Значения на данном отрезке:

Теперь нам нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют $x = 2\pi n$, где $n$ — целое число, и которые лежат в интервале $x \in [-12; 18]$.

Для этого найдем минимальное и максимальное значения $n$, для которых $x = 2\pi n$ попадет в этот интервал.

• Минимальное значение $x = 2\pi n$ на интервале $[-12; 18]$:

  $$x = -12 \quad \Rightarrow \quad -12 = 2\pi n \quad \Rightarrow \quad n = -\frac{12}{2\pi} \approx -1.91.$$

  Поскольку $n$ должно быть целым, находим, что наименьшее значение $n = -2$.

• Максимальное значение $x = 2\pi n$ на интервале $[-12; 18]$:

  $$x = 18 \quad \Rightarrow \quad 18 = 2\pi n \quad \Rightarrow \quad n = \frac{18}{2\pi} \approx 2.87.$$

  Поскольку $n$ должно быть целым, находим, что наибольшее значение $n = 2$.

Теперь подставляем значения $n = -2, -1, 0, 1, 2$ в формулу $x = 2\pi n$:

• Для $n = -2$: $x = 2\pi \cdot (-2) = -4\pi \approx -12.57$.
• Для $n = -1$: $x = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi \approx -6.28$.
• Для $n = 0$: $x = 2\pi \cdot 0 = 0$.
• Для $n = 1$: $x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \approx 6.28$.
• Для $n = 2$: $x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12.57$.

Таким образом, значения $x$, которые лежат в интервале $[-12; 18]$, следующие:

$$x_1 = -2\pi, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2\pi, \quad x_4 = 4\pi.$$

Ответ: $-2\pi; 0; 2\pi; 4\pi.$

б) $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [1; 7]$

Решения уравнения:

Для того чтобы решить уравнение $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, нужно вспомнить, что $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $\theta = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, для $3x$ мы имеем:

$$3x = \pm \left( \frac{3\pi}{4} \right) + 2k\pi.$$

Делим обе стороны на 3, чтобы найти $x$:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}.$$

Теперь нужно найти все такие $x$, которые лежат в интервале $[1; 7]$.

Значения на данном отрезке:

Нам нужно рассмотреть два случая: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$.

Сначала рассмотрим $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$:

• Для $k = 0$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{4}.$$

  Это значение $x$ не попадает в интервал $[1; 7]$, так как $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, что меньше 1.

• Для $k = 1$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} \approx 2.89.$$

  Это значение $x$ попадает в интервал $[1; 7]$.

• Для $k = 2$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} \approx 4.96.$$

  Это значение $x$ попадает в интервал $[1; 7]$.

• Для $k = 3$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 3 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{27\pi}{12} = \frac{9\pi}{4} \approx 7.07.$$

  Это значение $x$ попадает в интервал $[1; 7]$.

• Для $k = 4$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 4 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{32\pi}{12} = \frac{35\pi}{12} \approx 9.18.$$

  Это значение $x$ выходит за пределы интервала $[1; 7]$, поэтому оно не подходит.

Итак, для $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$ подходящие значения: $x_2 = \frac{11\pi}{12}, x_3 = \frac{19\pi}{12}, x_4 = \frac{9\pi}{4}$.

Теперь рассмотрим $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$:

• Для $k = 0$:

  $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{4}.$$

  Это значение $x$ не попадает в интервал $[1; 7]$, так как $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$, что меньше 1.

• Для $k = 1$:

  $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \approx 1.31.$$

  Это значение $x$ попадает в интервал $[1; 7]$.

• Для $k = 2$:

  $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \approx 3.40.$$

  Это значение $x$ попадает в интервал $[1; 7]$.

• Для $k = 3$:

  $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 3 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \approx 5.50.$$

  Это значение $x$ попадает в интервал $[1; 7]$.

• Для $k = 4$:

  $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot 4 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{32\pi}{12} = \frac{29\pi}{12} \approx 7.57.$$

  Это значение $x$ выходит за пределы интервала $[1; 7]$, поэтому оно не подходит.

Итак, для $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$ подходящие значения: $x_1 = \frac{5\pi}{12}, x_2 = \frac{13\pi}{12}, x_3 = \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}; \frac{19\pi}{12}; \frac{7\pi}{4}.$