ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$;

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2\pi; 4\pi]$;

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 3\pi]$;

г) $\cos x = -1, \, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$

а) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2\pi; 4\pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3};$$ $$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{10\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3}$.

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 3\pi]$;

Решения уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4};$$ $$x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4};$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}$.

г) $\cos x = -1, \, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$;

Решения уравнения:

$$x = \pi + 2\pi n;$$

Значения на данном отрезке:

$$x_1 = \pi — 2\pi = -\pi;$$ $$x_2 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi;$$

Ответ: $\pm \pi$.

а) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$;

Шаг 1: Решение уравнения

Мы начинаем с уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что косинус угла равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $x = \pm \frac{\pi}{6}$ в пределах одного периода $[0, 2\pi]$. То есть для $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ решения следующие:

$$x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$. Это означает, что решения будут повторяться с шагом $2\pi$, то есть общее решение для $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n.$$

Подставляя значение $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Проверка значений на интервале $[0; 2\pi]$

Теперь проверим, какие из этих решений лежат на заданном отрезке $[0; 2\pi]$:

• $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.
• $x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ решения:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{11\pi}{6}.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2\pi; 4\pi]$;

Шаг 1: Решение уравнения

Для уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ известно, что косинус угла равен $-\frac{1}{2}$ при углах $x = \pm \frac{2\pi}{3}$ в пределах интервала $[0, 2\pi]$.

• $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}, \quad \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Обобщение решения

Как и в предыдущем случае, так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, общее решение будет иметь вид:

$$x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n.$$

Известно, что $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, следовательно:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Проверка значений на интервале $[2\pi; 4\pi]$

Теперь проверим, какие из этих решений лежат на интервале $[2\pi; 4\pi]$:

• $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ (лежит в интервале $[2\pi; 4\pi]$).
• $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$ (лежит в интервале $[2\pi; 4\pi]$).

Таким образом, на отрезке $[2\pi; 4\pi]$ решения:

$$x_1 = \frac{8\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{10\pi}{3}.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $x = \frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3}$.

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 3\pi]$;

Шаг 1: Решение уравнения

Для уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, косинус угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $x = \pm \frac{\pi}{4}$ в пределах интервала $[0, 2\pi]$. Это означает, что для $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ решение:

$$x = \pm \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Как и в предыдущих случаях, так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, общее решение будет иметь вид:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Проверка значений на интервале $[-\pi; 3\pi]$

Теперь проверим, какие из этих решений лежат на интервале $[-\pi; 3\pi]$:

• $x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$.
• $x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.
• $x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.
• $x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.

Таким образом, на отрезке $[-\pi; 3\pi]$ решения:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{9\pi}{4}.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}$.

г) $\cos x = -1, \, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$;

Шаг 1: Решение уравнения

Для уравнения $\cos x = -1$ известно, что $\cos x = -1$ при $x = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$.

Шаг 2: Обобщение решения

Так как косинус имеет период $2\pi$, общее решение будет:

$$x = \pi + 2\pi n.$$

Шаг 3: Проверка значений на интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$

Теперь проверим, какие из этих решений лежат на интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$:

• $x_1 = \pi — 2\pi = -\pi$.
• $x_2 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$.

Таким образом, на отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$ решения:

$$x_1 = -\pi, \quad x_2 = \pi.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $\pm \pi$.

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

б) $x = \frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3}$

в) $\pm \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}$

г) $\pm \pi$