ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение $\sin\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) = -1$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.

Решить уравнение:

$$\sin (2x-\frac{\pi }{4})=-1;$$$$2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$$$2x=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+2\pi n=-\frac{\pi }{4}+2\pi n;$$$$x=-\frac{\pi }{4\cdot 2}+\frac{2\pi n}{2}=-\frac{\pi }{8}+\pi n;$$

а) Наименьший положительный корень:

$$-\frac{\pi }{8}+\pi n>0;$$$$\pi n>\frac{\pi }{8};$$$$n>\frac{1}{8};$$$$n⩾1;$$$$x=-\frac{\pi }{8}+\pi =-\frac{\pi }{8}+\frac{8\pi }{8}=\frac{7\pi }{8};$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{7\pi }{8}}}$.

б) Все корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$:

$$x_1=-\frac{\pi }{8}+\pi \cdot 0=-\frac{\pi }{8};$$$$x_2=-\frac{\pi }{8}+\pi =\frac{7\pi }{8};$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{8};\frac{7\pi }{8}}}$.

в) Наибольший отрицательный корень:

$$-\frac{\pi }{8}+\pi n<0;$$$$\pi n<\frac{\pi }{8};$$$$n<\frac{1}{8};$$$$n⩽0;$$$$x=-\frac{\pi }{8}+\pi \cdot 0=-\frac{\pi }{8};$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{8}}}$.

г) Все корни, принадлежащие интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$:

$$x_1=-\frac{\pi }{8}+\pi \cdot 0=-\frac{\pi }{8};$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{8}}}$.

Решить уравнение:

$$\sin (2x-\frac{\pi }{4})=-1;$$

Шаг 1: Анализ функции синуса

Для начала вспомним, что синус принимает значение $-1$ в точках, где его аргумент равен $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, где $k$ — целое число. То есть:

$$\sin \left(\theta \right)=-1\text{при}\theta =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Применяем это к нашему уравнению

В нашем уравнении:

$$\sin (2x-\frac{\pi }{4})=-1,$$

аргумент синуса — это $2x-\frac{\pi }{4}$. Приравниваем его к $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, где $k$ — целое число:

$$2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \mathrm{.}$$

Шаг 3: Решение относительно $x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.

Добавим $\frac{\pi }{4}$ к обеим частям уравнения:

$$2x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi +\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого представим $\frac{3\pi }{2}$ как $\frac{6\pi }{4}$:

$$2x=\frac{6\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+2k\pi =\frac{7\pi }{4}+2k\pi \mathrm{.}$$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$$x=\frac{7\pi }{8}+k\pi \mathrm{.}$$

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x=\frac{7\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Ответ на вопросы

Теперь, зная общее решение, ответим на вопросы, представленные в задаче.

а) Наименьший положительный корень:

Найдем наименьший положительный корень. Для этого решим неравенство:

$$\frac{7\pi }{8}+k\pi >0.$$

Переносим $\frac{7\pi }{8}$ в правую часть:

$$k\pi >-\frac{7\pi }{8}\mathrm{.}$$

Теперь делим обе части на $\pi$:

$$k>-\frac{7}{8}\mathrm{.}$$

Поскольку $k$ — целое число, наименьшее значение $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно $k=0$.

Подставляем $k=0$ в общее решение:

$$x=\frac{7\pi }{8}+0\cdot \pi =\frac{7\pi }{8}\mathrm{.}$$

Таким образом, наименьший положительный корень:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{7\pi }{8}}}\mathrm{.}$$

б) Все корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$:

Для нахождения всех корней на отрезке $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$ подставим разные значения $k$ в общее решение $x=\frac{7\pi }{8}+k\pi$ и проверим, какие из этих значений лежат на заданном отрезке.

Подставим $k=-1$:

$$x=\frac{7\pi }{8}+(-1)\pi =\frac{7\pi }{8}-\pi =\frac{7\pi }{8}-\frac{8\pi }{8}=-\frac{\pi }{8}\mathrm{.}$$

Это значение лежит в интервале $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$.

Подставим $k=0$:

$$x=\frac{7\pi }{8}+0\cdot \pi =\frac{7\pi }{8}\mathrm{.}$$

Это значение также лежит в интервале $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$.

Подставим $k=1$:

$$x=\frac{7\pi }{8}+1\pi =\frac{7\pi }{8}+\frac{8\pi }{8}=\frac{15\pi }{8}\mathrm{.}$$

Это значение не лежит в интервале $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$, так как $\frac{15\pi }{8}>\frac{3\pi }{2}$.

Таким образом, все корни на отрезке $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$ — это:

$$x_1=-\frac{\pi }{8},x_2=\frac{7\pi }{8}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{8};\frac{7\pi }{8}}}\mathrm{.}$$

в) Наибольший отрицательный корень:

Для нахождения наибольшего отрицательного корня решим неравенство:

$$\frac{7\pi }{8}+k\pi <0.$$

Переносим $\frac{7\pi }{8}$ в правую часть:

$$k\pi <-\frac{7\pi }{8}\mathrm{.}$$

Делим обе части на $\pi$:

$$k<-\frac{7}{8}\mathrm{.}$$

Поскольку $k$ — целое число, наибольшее значение $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, равно $k=-1$.

Подставляем $k=-1$ в общее решение:

$$x=\frac{7\pi }{8}+(-1)\pi =\frac{7\pi }{8}-\pi =-\frac{\pi }{8}\mathrm{.}$$

Таким образом, наибольший отрицательный корень:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{8}}}\mathrm{.}$$

г) Все корни, принадлежащие интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$:

Для нахождения всех корней на интервале $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$ подставим разные значения $k$ в общее решение $x=\frac{7\pi }{8}+k\pi$ и проверим, какие из этих значений лежат на заданном интервале.

Подставим $k=-1$:

$$x=\frac{7\pi }{8}-\pi =-\frac{\pi }{8}\mathrm{.}$$

Это значение лежит в интервале $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$.

Подставим $k=0$:

$$x=\frac{7\pi }{8}\mathrm{.}$$

Это значение не лежит в интервале $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$, так как $\frac{7\pi }{8}>\frac{\pi }{2}$.

Таким образом, единственный корень на интервале $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$ — это:

$$x_1=-\frac{\pi }{8}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{8}}}\mathrm{.}$$