ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение $\cos\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right) = \frac{1}{2}$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.

Решить уравнение:

$$\cos (\frac{\pi }{3}-2x)=\frac{1}{2};$$$$\cos (2x-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2};$$$$2x-\frac{\pi }{3}=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

Первое значение:

$$2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$$$2x=2\pi n;$$$$x=\pi n;$$

Второе значение:

$$2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$$$2x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$$$x=\frac{\pi }{3}+\pi n;$$

а) Наименьший положительный корень:

$$\frac{\pi }{3}+\pi n>0;$$$$\pi n>-\frac{\pi }{3};$$$$n>-\frac{1}{3};$$$$n\ge 0;$$$$x=\frac{\pi }{3}+\pi \cdot 0=\frac{\pi }{3};$$

Ответ: $\frac{\pi }{3}$.

б) Все корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$:

$$x_1=\pi \cdot 0=0;$$$$x_2=\frac{\pi }{3}+\pi \cdot 0=\frac{\pi }{3};$$$$x_3=\pi \cdot 1=\pi ;$$$$x_4=\frac{\pi }{3}+\pi \cdot 1=\frac{4\pi }{3};$$

Ответ: $0;\frac{\pi }{3};\pi ;\frac{4\pi }{3}$.

в) Наибольший отрицательный корень:

$$\frac{\pi }{3}+\pi n<0;$$$$\pi n<-\frac{\pi }{3};$$$$n<-\frac{1}{3};$$$$n\le -1;$$$$x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3};$$

Ответ: $-\frac{2\pi }{3}$.

г) Все корни, принадлежащие интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$:

$$x_1=\frac{\pi }{3}-\pi \cdot 1=-\frac{2\pi }{3};$$$$x_2=\pi \cdot 0=0;$$$$x_3=\frac{\pi }{3}+\pi \cdot 0=\frac{\pi }{3};$$

Ответ: $-\frac{2\pi }{3};0;\frac{\pi }{3}$.

Необходимо решить уравнение:

$$\cos (\frac{\pi }{3}-2x)=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Для начала, заметим, что $\cos \theta =\frac{1}{2}$ при $\theta =\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ — целое число, потому что косинус периодичен с периодом $2\pi$. То есть, $\cos \theta =\frac{1}{2}$ при значениях угла, равных $\pm \frac{\pi }{3}$ с добавлением целого числа периодов $2\pi n$.

Шаг 1: Приводим уравнение к стандартному виду

Наше уравнение:

$$\cos (\frac{\pi }{3}-2x)=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Из предыдущего анализа мы знаем, что решение этого уравнения будет:

$$\frac{\pi }{3}-2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,$$

где $n$ — целое число.

Шаг 2: Разбираем два возможных случая

Случай 1: $\frac{\pi }{3}-2x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$

Упростим это уравнение:

$$\frac{\pi }{3}-2x=\frac{\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

В данном случае $\frac{\pi }{3}$ можно сократить с обеих сторон, оставив:

$$-2x=2\pi n\mathrm{.}$$

Разделим обе стороны на -2:

$$x=-\pi n\mathrm{.}$$

Это первое решение для $x$: $x=-\pi n$.

Случай 2: $\frac{\pi }{3}-2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$

Упростим это уравнение:

$$\frac{\pi }{3}-2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Переносим $\frac{\pi }{3}$ на правую сторону:

$$-2x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Разделим обе стороны на -2:

$$x=\frac{\pi }{3}-\pi n\mathrm{.}$$

Это второе решение для $x$: $x=\frac{\pi }{3}-\pi n$.

Шаг 3: Находим конкретные значения корней

Теперь, когда у нас есть два общего выражения для $x$:

1. $x=-\pi n$
2. $x=\frac{\pi }{3}-\pi n$

а) Наименьший положительный корень

Рассмотрим второе выражение для $x$:

$$x=\frac{\pi }{3}-\pi n\mathrm{.}$$

Нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого:

$$\frac{\pi }{3}-\pi n>0.$$

Решаем неравенство:

$$\pi n<\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Разделим обе стороны на $\pi$:

$$n<\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Так как $n$ — целое число, наименьшее значение для $n$ равно $n=0$. Подставляем это значение в выражение для $x$:

$$x=\frac{\pi }{3}-\pi \cdot 0=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, наименьший положительный корень: $\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$.

б) Все корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$

Теперь нужно найти все корни, которые принадлежат отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$. Для этого рассмотрим оба выражения для $x$ и подставим значения $n$, которые удовлетворяют условию.

Корни из первого выражения $x=-\pi n$:

Для этого выражения $x=-\pi n$ будем искать такие $n$, при которых $x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$. Мы можем найти несколько значений $n$:

1. Для $n=0$, получаем $x=0$.
2. Для $n=-1$, получаем $x=\pi$.
3. Для $n=1$, получаем $x=-\pi$.

Корни из второго выражения $x=\frac{\pi }{3}-\pi n$:

Теперь подставим $n$ в выражение $x=\frac{\pi }{3}-\pi n$.

1. Для $n=0$, получаем $x=\frac{\pi }{3}$.
2. Для $n=1$, получаем $x=-\frac{2\pi }{3}$.
3. Для $n=-1$, получаем $x=\frac{4\pi }{3}$.

Теперь из всех полученных корней оставим только те, которые принадлежат отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$:

Корни: $x_1=0$, $x_2=\frac{\pi }{3}$, $x_3=\pi$, $x_4=\frac{4\pi }{3}$.

Ответ: $0;\frac{\pi }{3};\pi ;\frac{4\pi }{3}$.

в) Наибольший отрицательный корень

Найдем наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим выражение $x=\frac{\pi }{3}-\pi n$. Нам нужно, чтобы $x<0$:

$$\frac{\pi }{3}-\pi n<0.$$

Решаем неравенство:

$$\pi n>\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Разделим обе стороны на $\pi$:

$$n>\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Так как $n$ — целое число, наибольшее значение для $n$ равно $n=1$. Подставляем это значение в выражение для $x$:

$$x=\frac{\pi }{3}-\pi \cdot 1=-\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, наибольший отрицательный корень: $\boxed{{\displaystyle -\frac{2\pi }{3}}}$.

г) Все корни, принадлежащие интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$

Теперь найдем все корни, принадлежащие интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$. Рассмотрим оба выражения для $x$.

Корни из первого выражения $x=-\pi n$:

Для этого выражения:

1. Для $n=-1$, получаем $x=\pi$.
2. Для $n=0$, получаем $x=0$.

Корни из второго выражения $x=\frac{\pi }{3}-\pi n$:

Для этого выражения:

1. Для $n=-1$, получаем $x=\frac{4\pi }{3}$.
2. Для $n=0$, получаем $x=\frac{\pi }{3}$.

Теперь из всех полученных корней оставим только те, которые принадлежат интервалу $(-\pi ;\frac{\pi }{2})$:

Корни: $x_1=-\frac{2\pi }{3}$, $x_2=0$, $x_3=\frac{\pi }{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi }{3};0;\frac{\pi }{3}$.