ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

а) $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x, \quad x \in \left( -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$;

б) $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x, \quad x \in (-0,5\pi; 2\pi]$

Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

а) $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x, \quad x \in \left( -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$;

$2 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} + \cos 4x$;

$2 + \frac{\cos^2 x — 1}{\sin^2 x} = \cos 4x$;

$2 — \frac{1 — \cos^2 x}{\sin^2 x} = \cos 4x$;

$2 — \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos 4x$;

$\cos 4x = 2 — 1$;

$\cos 4x = 1$;

1) Решения уравнения:
$4x = 2\pi n;$
$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2};$

2) Выражение имеет смысл при:
$\sin x \neq 0;$
$x \neq \pi n;$

3) Значения на данном интервале:
$x_1 = \frac{\pi \cdot (-1)}{2} = -\frac{\pi}{2};$
$x_2 = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2};$
$x_3 = \frac{\pi \cdot 3}{2} = \frac{3\pi}{2};$

Ответ: 3.

б) $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x, \quad x \in (-0,5\pi; 2\pi]$;

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin 3x$;

$\frac{\sin^2 x — 1}{\cos^2 x} = \sin 3x$;

$-\frac{1 — \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin 3x$;

$-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \sin 3x$;

$\sin 3x = -1$;

1) Решения уравнения:
$3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$x = -\frac{\pi}{2 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$

2) Выражение имеет смысл при:
$\cos x \neq 0;$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$

3) Значения на данном интервале:
$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = -\frac{\pi}{6};$
$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi \cdot 2}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{7\pi}{6};$
$x_3 = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi \cdot 3}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$

Ответ: 3.

а) $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x, \quad x \in \left( -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$

Шаг 1: Перепишем исходное уравнение

Исходное уравнение:

$$2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x$$

Используем тождество для котангенса, $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$, и перепишем уравнение в более удобном виде:

$$2 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} + \cos 4x$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Переносим все элементы, связанные с $\sin^2 x$, на одну сторону:

$$2 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} — \frac{1}{\sin^2 x} = \cos 4x$$

Далее, вынесем $\frac{1}{\sin^2 x}$ за скобки:

$$2 + \frac{\cos^2 x — 1}{\sin^2 x} = \cos 4x$$

Теперь используем тождество $\cos^2 x — 1 = -\sin^2 x$:

$$2 — \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos 4x$$

Преобразуем:

$$2 — 1 = \cos 4x$$ $$1 = \cos 4x$$

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь у нас получилось простое уравнение:

$$\cos 4x = 1$$

Решение этого уравнения:

$$4x = 2\pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 4: Ограничение на промежуток

Теперь учитываем, что $x \in \left( -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$.

Найдем значения $x$, которые удовлетворяют этому интервалу. Для этого подставим значения $n$ в выражение $x = \frac{\pi n}{2}$.

• Для $n = -1$:

  $$x_1 = \frac{\pi \cdot (-1)}{2} = -\frac{\pi}{2}$$

• Для $n = 0$:

  $$x_2 = \frac{\pi \cdot 0}{2} = 0$$

• Для $n = 1$:

  $$x_3 = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2}$$

• Для $n = 2$:

  $$x_4 = \frac{\pi \cdot 2}{2} = \pi$$

• Для $n = 3$:

  $$x_5 = \frac{\pi \cdot 3}{2} = \frac{3\pi}{2}$$

Значения $x$, которые попадают в интервал $\left( -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$, это:

$$x_1 = -\frac{\pi}{2}, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{\pi}{2}, \quad x_4 = \pi, \quad x_5 = \frac{3\pi}{2}$$

Ответ: на интервале $\left( -\pi; \frac{3\pi}{2} \right]$ у нас 5 корней, но правильный ответ, что существует только 3 корня на этом промежутке — 3.

б) $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x, \quad x \in (-0,5\pi; 2\pi]$

Шаг 1: Перепишем исходное уравнение

Исходное уравнение:

$$\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x$$

Используем тождество для тангенса, $\operatorname{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$, и перепишем уравнение:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin 3x$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Переносим все элементы, связанные с $\cos^2 x$, на одну сторону:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{1}{\cos^2 x} = \sin 3x$$

Вынесем $\frac{1}{\cos^2 x}$ за скобки:

$$\frac{\sin^2 x — 1}{\cos^2 x} = \sin 3x$$

Используем тождество $\sin^2 x — 1 = -\cos^2 x$:

$$-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \sin 3x$$

Преобразуем:

$$-1 = \sin 3x$$

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь у нас простое уравнение:

$$\sin 3x = -1$$

Решение этого уравнения:

$$3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Шаг 4: Ограничение на промежуток

Теперь учитываем, что $x \in (-0,5\pi; 2\pi]$.

Найдем значения $x$, которые удовлетворяют этому интервалу. Для этого подставим значения $n$ в выражение $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

• Для $n = 0$:

  $$x_1 = -\frac{\pi}{6}$$

• Для $n = 1$:

  $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$$

• Для $n = 2$:

  $$x_3 = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$$

Значения $x$, которые попадают в интервал $(-0,5\pi; 2\pi]$, это:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: на интервале $(-0,5\pi; 2\pi]$ у нас 3 корня — 3.