ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\cos t > \frac{1}{2}$;

б) $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\cos t < \frac{1}{2}$

а) $\cos t > \frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$t = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$$ $$t_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{3\pi}{4};$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$t = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{3\pi}{4};$$ $$t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$$

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $\cos t < \frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

а) $\cos t > \frac{1}{2}$

1) Решение уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$:

Для того чтобы решить неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$, необходимо найти точки, где $\cos t = \frac{1}{2}$, а затем уже определить промежутки, где косинус больше этого значения.

Найдем решение уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$:

$$\cos t = \frac{1}{2}$$

Решением этого уравнения будет:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$.

Значение $\arccos \frac{1}{2}$ равно $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, получаем:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

2) Искомые точки:

Чтобы найти промежутки, на которых выполняется неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$, нужно учесть, что косинус положителен на интервалах:

• от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ на одном периоде $2\pi n$.

То есть, на каждом периоде $2\pi n$ точками пересечения будут $t_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, и на промежутке между этими точками $\cos t > \frac{1}{2}$.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

б) $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1) Решение уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Чтобы решить неравенство $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, сначала найдем точки, где $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используем тот факт, что $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как значение $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Для косинуса с отрицательным значением нужно учесть, что это происходит во второй и третьей четверти.

Таким образом, получаем два возможных решения:

$$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

2) Искомые точки:

Искомые точки, где $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, будут $t_1 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ и $t_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Так как $\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ во второй и третьей четверти, это соответствует промежутку от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ на каждом периоде $2\pi n$.

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

в) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1) Решение уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Решение уравнения будет таким же, как и в пункте б), так как у нас одинаковая граница $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Из этого уравнения получаем те же точки пересечения:

$$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

2) Искомые точки:

Поскольку $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервалах, где косинус не достигает значения $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, это происходит на интервалах между $-\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$ в каждом периоде.

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

г) $\cos t < \frac{1}{2}$

1) Решение уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$:

Решение уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ уже было найдено в пункте а):

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

2) Искомые точки:

Чтобы найти промежутки, на которых выполняется неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$, нужно взять интервалы, где косинус меньше $\frac{1}{2}$.

На интервале между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$ косинус меньше $\frac{1}{2}$, и эти промежутки повторяются на каждом периоде $2\pi n$.

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговый ответ:

а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

б) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

г) $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$