ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\cos t < \frac{2}{3}$;

б) $\cos t > -\frac{1}{7}$;

в) $\cos t > \frac{2}{3}$;

г) $\cos t < -\frac{1}{7}$

а) $\cos t < \frac{2}{3}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{2}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \arccos \frac{2}{3} + 2\pi \cdot 0 = \arccos \frac{2}{3};$$ $$t_2 = -\arccos \frac{2}{3} + 2\pi;$$

Ответ:

$$\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

б) $\cos t > -\frac{1}{7}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{1}{7};$$ $$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi \cdot 0 = -\arccos \left( -\frac{1}{7} \right);$$ $$t_2 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi \cdot 0 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right);$$

Ответ:

$$-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

в) $\cos t > \frac{2}{3}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = \frac{2}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = -\arccos \frac{2}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\arccos \frac{2}{3};$$ $$t_2 = \arccos \frac{2}{3} + 2\pi \cdot 0 = \arccos \frac{2}{3};$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

г) $\cos t < -\frac{1}{7}$;

Решения уравнения:

$$\cos t = -\frac{1}{7};$$ $$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi \cdot 0 = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right);$$ $$t_2 = -\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi;$$

Ответ:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

а) $\cos t < \frac{2}{3}$

1) Решение уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$:

Для того чтобы решить неравенство $\cos t < \frac{2}{3}$, сначала находим точки, где косинус равен $\frac{2}{3}$.

Мы решаем уравнение:

$$\cos t = \frac{2}{3}.$$

Чтобы найти значения $t$, нужно воспользоваться арккосинусом. Напоминаю, что функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, поэтому решение уравнения будет выглядеть следующим образом:

$$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как период косинуса равен $2\pi$.

Значение $\arccos \frac{2}{3}$ можно найти с помощью калькулятора или таблиц значений арккосинуса. Получаем:

$$\arccos \frac{2}{3} \approx 0.841 \, \text{радиан}.$$

Таким образом, общее решение уравнения:

$$t = \pm 0.841 + 2\pi n.$$

2) Искомые точки:

Теперь, чтобы решить неравенство $\cos t < \frac{2}{3}$, нужно понимать, что косинус меньше $\frac{2}{3}$ на интервалах, которые расположены за пределами значений $t_1 = \arccos \frac{2}{3}$ и $t_2 = 2\pi — \arccos \frac{2}{3}$. Это происходит, когда $t$ выходит за пределы этих точек, как показано ниже:

• На интервале от $t_1$ до $t_2$, то есть $\arccos \frac{2}{3} < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3}$, косинус больше $\frac{2}{3}$.
• За пределами этих интервалов, то есть на интервалах $(-\infty, \arccos \frac{2}{3})$ и $(2\pi — \arccos \frac{2}{3}, \infty)$, косинус меньше $\frac{2}{3}$.

Таким образом, искомый промежуток на каждом периоде $2\pi n$ находится в пределах:

$$\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

б) $\cos t > -\frac{1}{7}$

1) Решение уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$:

Для того чтобы решить неравенство $\cos t > -\frac{1}{7}$, сначала найдем точки, где косинус равен $-\frac{1}{7}$.

Решаем уравнение:

$$\cos t = -\frac{1}{7}.$$

Используем арккосинус:

$$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как косинус периодичен.

Для нахождения $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ воспользуемся калькулятором:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) \approx 1.428 \, \text{радиан}.$$

Таким образом, общее решение уравнения:

$$t = \pm 1.428 + 2\pi n.$$

2) Искомые точки:

Теперь для решения неравенства $\cos t > -\frac{1}{7}$, нужно определить, на каких интервалах $\cos t$ больше $-\frac{1}{7}$.

• Косинус больше $-\frac{1}{7}$ на интервалах:
  • от $-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ до $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$,
  • в пределах каждого периода $2\pi n$.

Таким образом, на каждом периоде $2\pi n$, искомые точки будут:

$$-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

Ответ:

$$-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

в) $\cos t > \frac{2}{3}$

1) Решение уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$:

Для решения неравенства $\cos t > \frac{2}{3}$ найдем точки, где $\cos t = \frac{2}{3}$.

Решаем уравнение:

$$\cos t = \frac{2}{3}.$$

Используем арккосинус:

$$t = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число.

Значение $\arccos \frac{2}{3}$ мы уже вычисляли, оно равно:

$$\arccos \frac{2}{3} \approx 0.841 \, \text{радиан}.$$

Таким образом, решение уравнения:

$$t = \pm 0.841 + 2\pi n.$$

2) Искомые точки:

Для неравенства $\cos t > \frac{2}{3}$, косинус больше $\frac{2}{3}$ на интервалах:

• от $-\arccos \frac{2}{3}$ до $\arccos \frac{2}{3}$.

Значит, для каждого периода $2\pi n$ искомые промежутки будут:

$$-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

г) $\cos t < -\frac{1}{7}$

1) Решение уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$:

Для решения неравенства $\cos t < -\frac{1}{7}$ нужно найти точки, где косинус равен $-\frac{1}{7}$.

Решаем уравнение:

$$\cos t = -\frac{1}{7}.$$

Используем арккосинус:

$$t = \pm \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число.

Значение $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ мы уже вычисляли:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) \approx 1.428 \, \text{радиан}.$$

Таким образом, решение уравнения:

$$t = \pm 1.428 + 2\pi n.$$

2) Искомые точки:

Для неравенства $\cos t < -\frac{1}{7}$, косинус меньше $-\frac{1}{7}$ на интервалах:

• от $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ до $2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$.

На каждом периоде $2\pi n$ искомые промежутки будут:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n.$$

Итоговый ответ:

а) $\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$

б) $-\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$

в) $-\arccos \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$

г) $\arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) + 2\pi n$