ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $3 \cos^2 t — 4 \cos t \geq 4$;

б) $6 \cos^2 t + 1 > 5 \cos t$;

в) $3 \cos^2 t — 4 \cos t < 4$;

г) $6 \cos^2 t + 1 \leq 5 \cos t$

а) $3 \cos^2 t — 4 \cos t \geq 4$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$3y^2 — 4y — 4 \geq 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3};$$ $$y_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$\left( y + \frac{2}{3} \right) (y — 2) \geq 0;$$ $$y \leq -\frac{2}{3} \text{ и } y \geq 2;$$

Первое значение:

$$\cos t \leq -\frac{2}{3};$$ $$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$$ $$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t \geq 2 \quad \text{(нет корней)};$$

Ответ:

$$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

б) $6 \cos^2 t + 1 > 5 \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$6y^2 — 5y + 1 > 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$ $$y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$ $$\left( y — \frac{1}{3} \right) \left( y — \frac{1}{2} \right) > 0;$$ $$y < \frac{1}{3} \text{ и } y > \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos t < \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t > \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $3 \cos^2 t — 4 \cos t < 4$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$3y^2 — 4y — 4 < 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3};$$ $$y_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$\left( y + \frac{2}{3} \right) (y — 2) < 0;$$ $$-\frac{2}{3} < y < 2;$$

Первое значение:

$$\cos t > -\frac{2}{3};$$ $$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$$ $$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t < 2 \quad \text{(при любом \( x \))};$$

Ответ:

$$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

г) $6 \cos^2 t + 1 \leq 5 \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$6y^2 — 5y + 1 \leq 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$ $$y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$ $$\left( y — \frac{1}{3} \right) \left( y — \frac{1}{2} \right) \leq 0;$$ $$\frac{1}{3} \leq y \leq \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos t \geq \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t \leq \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

а) $3 \cos^2 t — 4 \cos t \geq 4$

1) Преобразование неравенства:

Для начала заменим $\cos t$ на $y$, чтобы упростить выражение:

$$3y^2 — 4y \geq 4.$$

Переносим 4 на левую часть неравенства:

$$3y^2 — 4y — 4 \geq 0.$$

Теперь у нас есть стандартное квадратное неравенство. Для его решения применим метод нахождения корней уравнения:

$$3y^2 — 4y — 4 = 0.$$

2) Находим дискриминант и корни:

Используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для нашего уравнения:

$$a = 3, \, b = -4, \, c = -4.$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64.$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $a$, $b$ и $D$:

$$y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 8}{6} = -\frac{2}{3},$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = 2.$$

3) Разбираем неравенство:

У нас получились корни $y_1 = -\frac{2}{3}$ и $y_2 = 2$. Неравенство имеет вид:

$$\left( y + \frac{2}{3} \right)(y — 2) \geq 0.$$

Используем метод интервалов для решения этого неравенства. Рассматриваем знаки произведения на промежутках, определенных корнями:

• $y \leq -\frac{2}{3}$,
• $-\frac{2}{3} \leq y \leq 2$,
• $y \geq 2$.

Из анализа знаков произведения, получаем, что неравенство выполняется, если:

$$y \leq -\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad y \geq 2.$$

4) Возвращаемся к переменной $\cos t$:

Теперь вернемся к исходной переменной $\cos t$. Получаем два неравенства:

$$\cos t \leq -\frac{2}{3}, \quad \cos t \geq 2.$$

Но $\cos t \geq 2$ не имеет решений, так как косинус всегда лежит в пределах $[-1, 1]$.

Таким образом, остается только:

$$\cos t \leq -\frac{2}{3}.$$

5) Находим промежутки для $t$:

Решаем неравенство $\cos t \leq -\frac{2}{3}$. Для этого находим:

$$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

Подставляем значение $\arccos \left( -\frac{2}{3} \right)$:

$$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) \approx 2.300 \, \text{радиан}.$$

Таким образом, искомые промежутки для $t$:

$$2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

б) $6 \cos^2 t + 1 > 5 \cos t$

1) Преобразование неравенства:

Сначала заменим $\cos t$ на $y$:

$$6y^2 + 1 > 5y.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$6y^2 — 5y + 1 > 0.$$

2) Находим дискриминант и корни:

Для квадратного уравнения $6y^2 — 5y + 1 = 0$ вычисляем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3},$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$

3) Разбираем неравенство:

Неравенство $6y^2 — 5y + 1 > 0$ можно записать как:

$$\left( y — \frac{1}{3} \right) \left( y — \frac{1}{2} \right) > 0.$$

Используем метод интервалов. Рассматриваем знаки произведения на промежутках:

• $y < \frac{1}{3}$,
• $\frac{1}{3} < y < \frac{1}{2}$,
• $y > \frac{1}{2}$.

Неравенство выполняется, если:

$$y < \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad y > \frac{1}{2}.$$

4) Возвращаемся к переменной $\cos t$:

Теперь возвращаемся к переменной $\cos t$. Получаем два неравенства:

$$\cos t < \frac{1}{3}, \quad \cos t > \frac{1}{2}.$$

5) Находим промежутки для $t$:

• Для $\cos t < \frac{1}{3}$, решаем:

  $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

  Подставляем значение:

  $$\arccos \frac{1}{3} \approx 1.230 \, \text{радиан}.$$

  Ответ:

  $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

• Для $\cos t > \frac{1}{2}$, решаем:

  $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

  Ответ:

  $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $3 \cos^2 t — 4 \cos t < 4$

1) Преобразование неравенства:

Заменим $\cos t$ на $y$:

$$3y^2 — 4y < 4.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$3y^2 — 4y — 4 < 0.$$

2) Находим дискриминант и корни:

Для квадратного уравнения $3y^2 — 4y — 4 = 0$ вычисляем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{4 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3},$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2.$$

3) Разбираем неравенство:

Неравенство $3y^2 — 4y — 4 < 0$ можно записать как:

$$\left( y + \frac{2}{3} \right)(y — 2) < 0.$$

Используем метод интервалов. Рассматриваем знаки произведения на промежутках:

• $-\frac{2}{3} < y < 2$.

Таким образом, получаем:

$$— \frac{2}{3} < y < 2.$$

4) Возвращаемся к переменной $\cos t$:

Теперь вернемся к переменной $\cos t$:

$$-\frac{2}{3} < \cos t < 2.$$

5) Находим промежутки для $t$:

Для $\cos t > -\frac{2}{3}$:

$$t = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

Подставляем значение:

$$\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) \approx 2.300 \, \text{радиан}.$$

Ответ:

$$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

Ответ:

$$-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n.$$

г) $6 \cos^2 t + 1 \leq 5 \cos t$

1) Преобразование неравенства:

Пусть $y = \cos t$. Перепишем неравенство:

$$6y^2 + 1 \leq 5y.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$6y^2 — 5y + 1 \leq 0.$$

2) Находим дискриминант и корни:

Для квадратного уравнения $6y^2 — 5y + 1 = 0$ вычисляем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1.$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3},$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$

3) Разбираем неравенство:

Неравенство $6y^2 — 5y + 1 \leq 0$ можно записать как:

$$\left( y — \frac{1}{3} \right) \left( y — \frac{1}{2} \right) \leq 0.$$

Используем метод интервалов. Рассматриваем знаки произведения на промежутках:

• $\frac{1}{3} \leq y \leq \frac{1}{2}$.

Значит, решение неравенства:

$$\frac{1}{3} \leq y \leq \frac{1}{2}.$$

4) Возвращаемся к переменной $\cos t$:

Теперь вернемся к переменной $\cos t$. Получаем:

$$\frac{1}{3} \leq \cos t \leq \frac{1}{2}.$$

5) Находим промежутки для $t$:

Для $\cos t \geq \frac{1}{3}$, решаем:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Подставляем значение:

$$\arccos \frac{1}{3} \approx 1.231 \, \text{радиан}.$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Для $\cos t \leq \frac{1}{2}$, решаем:

$$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \leq t \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$

б) $\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$, $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

в) $-\arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n < t < \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n$

г) $-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$, $\frac{\pi }{3}+2\pi n\le t\le \frac{5\pi }{3}+2\pi n$