ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $4 \cos^2 t < 1$;

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

в) $9 \cos^2 t > 1$;

г) $3 \cos^2 t > \cos t$

а) $4 \cos^2 t < 1$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$4y^2 < 1;$$ $$4y^2 — 1 < 0;$$ $$(2y + 1)(2y — 1) < 0;$$ $$-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos t > -\frac{1}{2};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t < \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n.$$

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$3y^2 < y;$$ $$3y^2 — y < 0;$$ $$y(3y — 1) < 0;$$ $$0 < y < \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos t > 0;$$ $$t = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t < \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

в) $9 \cos^2 t > 1$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$9y^2 > 1;$$ $$9y^2 — 1 > 0;$$ $$(3y + 1)(3y — 1) > 0;$$ $$y < -\frac{1}{3} \text{ и } y > \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos t < -\frac{1}{3};$$ $$t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi n;$$ $$t_1 = \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi \cdot 0 = \pi — \arccos \frac{1}{3};$$ $$t_2 = -\left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi = \pi + \arccos \frac{1}{3};$$ $$\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \pi + \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t > \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\arccos \frac{1}{3} + \pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + \pi n.$$

г) $3 \cos^2 t > \cos t$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$$3y^2 > y;$$ $$3y^2 — y > 0;$$ $$y(3y — 1) > 0;$$ $$y < 0 \text{ и } y > \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos t < 0;$$ $$t = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos t > \frac{1}{3};$$ $$t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

$$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

а) $4 \cos^2 t < 1$;

Для начала, выразим $\cos^2 t$ через переменную $y$, при этом $y = \cos t$. Получим:

$$4y^2 < 1.$$

Далее, перенесем $1$ на правую сторону:

$$4y^2 — 1 < 0.$$

Теперь раскроем выражение через разность квадратов:

$$(2y + 1)(2y — 1) < 0.$$

Это неравенство мы можем решить методом интервалов, исследуя знак произведения двух множителей. Мы находим, что:

$$-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2}.$$

Таким образом, $\cos t$ должен лежать в интервале $-\frac{1}{2} < \cos t < \frac{1}{2}$.

Теперь ищем значения $t$, которые удовлетворяют этому неравенству. Для этого рассматриваем два случая:

• Первый случай: $\cos t > -\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos t = -\frac{1}{2}$ при $t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$. Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

  $$t = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

  Следовательно, интервал для $t$:

  $$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

• Второй случай: $\cos t < \frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos t = \frac{1}{2}$ при $t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$, и так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

  $$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

  Следовательно, интервал для $t$:

  $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Объединяя два интервала, мы получаем:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n.$$

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

Пусть $y = \cos t$. Тогда:

$$3y^2 < y.$$

Переносим все в одну сторону:

$$3y^2 — y < 0.$$

Разлагаем на множители:

$$y(3y — 1) < 0.$$

Это неравенство также решаем методом интервалов. Получаем:

$$0 < y < \frac{1}{3}.$$

Таким образом, $\cos t$ должен лежать в интервале $0 < \cos t < \frac{1}{3}$.

Теперь ищем значения $t$, которые удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим два случая:

• Первый случай: $\cos t > 0$. Мы знаем, что $\cos t = 0$ при $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Следовательно:

  $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

• Второй случай: $\cos t < \frac{1}{3}$. Мы знаем, что $\cos t = \frac{1}{3}$ при $t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$. Следовательно:

  $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < 2\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Объединяя два интервала, получаем:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < -\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

в) $9 \cos^2 t > 1$;

Пусть $y = \cos t$. Тогда:

$$9y^2 > 1.$$

Переносим все в одну сторону:

$$9y^2 — 1 > 0.$$

Разлагаем на множители:

$$(3y + 1)(3y — 1) > 0.$$

Это неравенство также решаем методом интервалов. Получаем:

$$y < -\frac{1}{3} \text{ или } y > \frac{1}{3}.$$

Таким образом, $\cos t$ может быть меньше $-\frac{1}{3}$ или больше $\frac{1}{3}$.

Рассмотрим два случая:

• Первый случай: $\cos t < -\frac{1}{3}$. Мы знаем, что $\cos t = -\frac{1}{3}$ при $t = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi n$. Таким образом, получаем:

  $$t_1 = \left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi \cdot 0 = \pi — \arccos \frac{1}{3};$$ $$t_2 = -\left( \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) + 2\pi = \pi + \arccos \frac{1}{3}.$$

  Следовательно:

  $$\pi — \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \pi + \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

• Второй случай: $\cos t > \frac{1}{3}$. Мы знаем, что $\cos t = \frac{1}{3}$ при $t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$. Следовательно:

  $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Объединяя два интервала, получаем:

$$-\arccos \frac{1}{3} + \pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + \pi n.$$

г) $3 \cos^2 t > \cos t$;

Пусть $y = \cos t$. Тогда:

$$3y^2 > y.$$

Переносим все в одну сторону:

$$3y^2 — y > 0.$$

Разлагаем на множители:

$$y(3y — 1) > 0.$$

Это неравенство также решаем методом интервалов. Получаем:

$$y < 0 \text{ или } y > \frac{1}{3}.$$

Рассмотрим два случая:

• Первый случай: $\cos t < 0$. Мы знаем, что $\cos t = 0$ при $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Следовательно:

  $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

• Второй случай: $\cos t > \frac{1}{3}$. Мы знаем, что $\cos t = \frac{1}{3}$ при $t = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$. Следовательно:

  $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Объединяя два интервала, получаем:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$-\arccos \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$