ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\sin t > -\frac{1}{2}$

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

г) $\sin t\le -\frac{1}{2}$

а) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$t_2 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{3} + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $\sin t > -\frac{1}{2}$

Решения уравнения:

$$\sin t = -\frac{1}{2};$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$ $$t_2 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{4\pi}{3};$$ $$t_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) $\sin t \leq -\frac{1}{2}$

Решения уравнения:

$$\sin t = -\frac{1}{2};$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^{-1+1} \cdot \frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6};$$ $$t_2 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{6} + 2 \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

а) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Для начала мы решаем уравнение:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а также, что синус имеет период $2\pi$, то есть $\sin (t + 2\pi) = \sin t$. Местоположение всех решений можно выразить через $\arcsin$, так как $\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$.

Но синус — это функция с периодичностью, и мы знаем, что она положительна на двух интервалах в каждом цикле:

$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как для всех решений мы можем добавить $2\pi n$ (период синуса).

$t = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Таким образом, общее решение для уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид:

$$t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Искомые точки для неравенства $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Теперь нам нужно найти такие значения $t$, при которых синус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это будет происходить на интервале между двумя решениями:

$t_1 = \frac{\pi}{3}$ — минимальное значение, при котором $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$t_2 = \frac{2\pi}{3}$ — максимальное значение, при котором $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$ в каждом цикле, т.е.:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $\sin t > -\frac{1}{2}$

Решение уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$:

Для уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ нам нужно найти угол, для которого синус равен $-\frac{1}{2}$. Из известных значений $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, и из симметрии синуса, мы получаем, что $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, решение уравнения будет выглядеть как:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Искомые точки для неравенства $\sin t > -\frac{1}{2}$:

Теперь нам нужно найти такие значения $t$, при которых синус больше $-\frac{1}{2}$. Это происходит между двумя значениями:

$t_1 = -\frac{\pi}{6}$ — минимальное значение, при котором $\sin t = -\frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{7\pi}{6}$ — максимальное значение, при котором $\sin t = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ в каждом цикле, т.е.:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Решение для уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ мы уже нашли в первом пункте:

$$t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Искомые точки для неравенства $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется между точками, где синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. На первом интервале, где синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, оно будет меньше на промежутке от $-\frac{4\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$, так как синус снова поднимется до $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точке $\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

г) $\sin t \leq -\frac{1}{2}$

Решение уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$:

Решение для уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ мы уже нашли во втором пункте:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Искомые точки для неравенства $\sin t \leq -\frac{1}{2}$:

Неравенство $\sin t \leq -\frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$. Это происходит из-за того, что синус принимает значения $\leq -\frac{1}{2}$ на этих интервалах, начиная с точки $-\frac{5\pi}{6}$ и заканчивая точкой $-\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, неравенство $\sin t \leq -\frac{1}{2}$ выполняется на интервале:

$$-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\le t\le -\frac{\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$$