ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t < \frac{1}{3}$;

б) $\sin t \geq -0,6$;

в) $\sin t \geq \frac{1}{3}$;

г) $\sin t < -0,6$

а) $\sin t < \frac{1}{3}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{1}{3};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^{-1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} — \pi = \pi — \arcsin \frac{1}{3};$$ $$t_2 = (-1)^0 \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi \cdot 0 = \arcsin \frac{1}{3};$$

Ответ:

$$-\pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

б) $\sin t \geq -0,6$;

Решения уравнения:

$$\sin t = -0,6;$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^{0+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi \cdot 0 = -\arcsin 0,6;$$ $$t_2 = (-1)^{1+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi = \pi + \arcsin 0,6;$$

Ответ:

$$-\arcsin 0,6 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$

в) $\sin t \geq \frac{1}{3}$;

Решения уравнения:

$$\sin t = \frac{1}{3};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^0 \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi \cdot 0 = \arcsin \frac{1}{3};$$ $$t_2 = (-1)^1 \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi = \pi — \arcsin \frac{1}{3};$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

г) $\sin t < -0,6$;

Решения уравнения:

$$\sin t = -0,6;$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n;$$

Искомые точки:

$$t_1 = (-1)^{1+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi = \pi + \arcsin 0,6;$$ $$t_2 = (-1)^{2+1} \cdot \arcsin 0,6 + 2\pi = 2\pi — \arcsin 0,6;$$

Ответ:

$$\pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$

а) $\sin t < \frac{1}{3}$

Решение уравнения:

Нам нужно решить неравенство $\sin t < \frac{1}{3}$. Начнём с того, что найдём точку, где $\sin t = \frac{1}{3}$, а потом с помощью свойств функции синуса определим области, где она меньше этого значения.

Решим уравнение:

$$\sin t = \frac{1}{3}.$$

Чтобы найти $t$, нужно использовать обратную тригонометрическую функцию $\arcsin$. То есть:

$$t = \arcsin \frac{1}{3}.$$

Однако $\arcsin$ даёт только одно решение, которое лежит в интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Но синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, поэтому все решения будем записывать с учётом этого.

Общее решение уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$ будет иметь вид:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Здесь $(-1)^n$ даёт два возможных значения для каждого $n$, так как синус принимает одинаковые значения в двух симметричных точках на единичной окружности.

Искомые точки:

Теперь, чтобы найти интервалы, где $\sin t < \frac{1}{3}$, нам нужно понимать, что синус меньше $\frac{1}{3}$ между этими точками. Рассмотрим два случая:

• $t_1$ — это точка, где $\sin t = \frac{1}{3}$ и $t$ меньше этой точки (левая часть окружности).
• $t_2$ — это точка, где $\sin t = \frac{1}{3}$ и $t$ больше этой точки (правая часть окружности).

Первое решение $t_1$ на окружности будет:

$$t_1 = (-1)^{-1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} — \pi = \pi — \arcsin \frac{1}{3}.$$

Второе решение $t_2$:

$$t_2 = (-1)^0 \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi \cdot 0 = \arcsin \frac{1}{3}.$$

Так как $\sin t < \frac{1}{3}$, мы находим интервал между этими решениями. Периодичность функции синуса даёт следующее общее решение для $t$:

$$-\pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

б) $\sin t \geq -0,6$

Решение уравнения:

Теперь решим неравенство $\sin t \geq -0,6$. Нам нужно найти точки, где $\sin t = -0,6$, а затем определить области, где синус больше или равен этому значению.

Решаем уравнение:

$$\sin t = -0,6.$$

Используем $\arcsin$ для нахождения решений:

$$t = \arcsin (-0,6).$$

Для функции $\arcsin$ возможное значение лежит в интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, но так как синус имеет период $2\pi$, все решения можно записать в виде:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Искомые точки:

Теперь найдем точки, где $\sin t = -0,6$.

Первое решение $t_1$:

$$t_1 = (-1)^{0+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi \cdot 0 = -\arcsin 0,6.$$

Второе решение $t_2$:

$$t_2 = (-1)^{1+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi = \pi + \arcsin 0,6.$$

Периодичность функции синуса позволяет записать общий вид решения:

$$-\arcsin 0,6 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$

в) $\sin t \geq \frac{1}{3}$

Решение уравнения:

Решим неравенство $\sin t \geq \frac{1}{3}$. Начнём с нахождения точек, где $\sin t = \frac{1}{3}$.

Решаем уравнение:

$$\sin t = \frac{1}{3}.$$

Используем обратную функцию синуса:

$$t = \arcsin \frac{1}{3}.$$

Так как синус — периодическая функция, все решения будем записывать в виде:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Искомые точки:

Теперь определим точки, где $\sin t = \frac{1}{3}$.

Первое решение $t_1$:

$$t_1 = (-1)^0 \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi \cdot 0 = \arcsin \frac{1}{3}.$$

Второе решение $t_2$:

$$t_2 = (-1)^1 \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi = \pi — \arcsin \frac{1}{3}.$$

Зная, что синус больше или равен $\frac{1}{3}$ между этими точками, получаем решение:

$$\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

г) $\sin t < -0,6$

Решение уравнения:

Решим неравенство $\sin t < -0,6$. Начнём с нахождения точек, где $\sin t = -0,6$.

Решаем уравнение:

$$\sin t = -0,6.$$

Используем $\arcsin$:

$$t = \arcsin (-0,6).$$

Общее решение будет:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Искомые точки:

Теперь найдем точки, где $\sin t = -0,6$.

Первое решение $t_1$:

$$t_1 = (-1)^{1+1} \cdot \arcsin 0,6 + \pi = \pi + \arcsin 0,6.$$

Второе решение $t_2$:

$$t_2 = (-1)^{2+1} \cdot \arcsin 0,6 + 2\pi = 2\pi — \arcsin 0,6.$$

Периодичность функции синуса даёт общее решение:

$$\pi + \arcsin 0,6 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0,6 + 2\pi n.$$