ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12$;

б) $5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12$

а) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12$;

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$5y^2 — 11y — 12 > 0;$

$D = 11^2 + 5 \cdot 4 \cdot 12 = 121 + 240 = 361, \text{тогда:}$

$y_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0,8;$

$y_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3;$

$(y + 0,8)(y — 3) > 0;$

$y < -0,8 \text{ и } y > 3;$

Первое значение:

$\sin t < -0,8;$

$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi n;$

$t_1 = (-1)^{1+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi = \pi + \arcsin 0,8;$

$t_2 = (-1)^{2+1} \cdot \arcsin 0,8 + 2\pi = 2\pi — \arcsin 0,8;$

$\pi + \arcsin 0,8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0,8 + 2\pi n;$

Второе значение:

$\sin t > 3 — \text{нет корней};$

Ответ: $\pi + \arcsin 0,8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0,8 + 2\pi n$.

б) $5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12$;

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$5y^2 — 11y — 12 \leq 0;$

$D = 11^2 + 5 \cdot 4 \cdot 12 = 121 + 240 = 361, \text{тогда:}$

$y_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0,8;$

$y_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3;$

$(y + 0,8)(y — 3) \leq 0;$

$-0,8 \leq y \leq 3;$

Первое значение:

$\sin t \geq -0,8;$

$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi n;$

$t_1 = (-1)^{0+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi \cdot 0 = -\arcsin 0,8;$

$t_2 = (-1)^{1+1} \cdot \arcsin 0,8 + \pi = \pi + \arcsin 0,8;$

$-\arcsin 0,8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0,8 + 2\pi n;$

Второе значение:

$\sin t \leq 3 — \text{при любом } x;$

Ответ: $-\arcsin 0,8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0,8 + 2\pi n$.

а) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12$

Шаг 1. Замена переменной
Представим $y = \sin t$. Тогда исходное неравенство:

$$5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12$$

принимает вид:

$$5y^2 > 11y + 12$$

Переносим все слагаемые в одну часть неравенства:

$$5y^2 — 11y — 12 > 0$$

Шаг 2. Решение квадратного неравенства
Решаем квадратное неравенство $5y^2 — 11y — 12 > 0$ с помощью дискриминанта и нахождения корней.

Для этого находим дискриминант $D$ уравнения $5y^2 — 11y — 12 = 0$:

$$D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{11 — 19}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$$ $$y_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 19}{10} = \frac{30}{10} = 3$$

Шаг 3. Разложение на множители
Записываем квадратное выражение в виде произведения двух линейных множителей:

$$5y^2 — 11y — 12 = (y + 0.8)(y — 3)$$

Неравенство теперь принимает вид:

$$(y + 0.8)(y — 3) > 0$$

Шаг 4. Решение неравенства
Для решения неравенства $(y + 0.8)(y — 3) > 0$ используем метод знаков. Рассмотрим интервалы, на которых выражение изменяет знак:

$y + 0.8 = 0$ при $y = -0.8$,

$y — 3 = 0$ при $y = 3$.

Эти значения разделяют числовую прямую на три интервала: $y < -0.8$, $-0.8 < y < 3$, $y > 3$.

Теперь проверим знак выражения на каждом из интервалов:

• При $y < -0.8$, оба множителя $(y + 0.8)$ и $(y — 3)$ отрицательны, значит произведение положительное.
• При $-0.8 < y < 3$, один множитель положителен, а другой отрицателен, значит произведение отрицательное.
• При $y > 3$, оба множителя положительны, значит произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах $y < -0.8$ и $y > 3$.

Шаг 5. Обратная замена переменной
Напоминаем, что $y = \sin t$, поэтому находим соответствующие значения $t$:

$\sin t < -0.8$

Для этого находим углы, при которых $\sin t = -0.8$. Эти значения можно выразить через арксинус:

$$t_1 = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin(0.8) + \pi n$$

Так как $\sin t = -0.8$ имеет решение в диапазоне от $\pi$ до $2\pi$ для каждого значения $n$, получаем:

$$t_1 = \pi + \arcsin 0.8$$ $$t_2 = 2\pi — \arcsin 0.8$$

Таким образом, на интервале:

$$\pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0.8 + 2\pi n$$

$\sin t > 3$

Так как $\sin t$ не может быть больше 1, то нет решений для этого неравенства.

Ответ:

$$\pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0.8 + 2\pi n$$

б) $5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12$

Шаг 1. Замена переменной
Аналогично первому случаю, вводим замену $y = \sin t$ и преобразуем неравенство:

$$5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12$$

Это выражение можно записать как:

$$5y^2 \leq 11y + 12$$

Переносим все слагаемые в одну часть неравенства:

$$5y^2 — 11y — 12 \leq 0$$

Шаг 2. Решение квадратного неравенства
Решаем неравенство $5y^2 — 11y — 12 \leq 0$, используя дискриминант. Уже было рассчитано, что:

$$D = 361$$

Корни уравнения:

$$y_1 = -0.8, \quad y_2 = 3$$

Неравенство принимает вид:

$$(y + 0.8)(y — 3) \leq 0$$

Шаг 3. Разложение на множители и решение неравенства
Теперь решаем неравенство $(y + 0.8)(y — 3) \leq 0$. Рассматриваем знаки произведения на интервалах:

• $y < -0.8$, оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• $-0.8 \leq y \leq 3$, один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательное или нулевое.
• $y > 3$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Следовательно, неравенство выполняется на интервале $-0.8 \leq y \leq 3$.

Шаг 4. Обратная замена переменной
Напоминаем, что $y = \sin t$, поэтому находим значения $t$:

$\sin t \geq -0.8$

Для этого находим углы, при которых $\sin t = -0.8$. У нас есть решение:

$$t_1 = -\arcsin 0.8$$ $$t_2 = \pi + \arcsin 0.8$$

Таким образом, на интервале:

$$-\arcsin 0.8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n$$

$\sin t \leq 3$

Это не ограничение, так как $\sin t$ всегда меньше или равно 1. Таким образом, ограничение $\sin t \leq 3$ всегда выполняется.

Ответ:

$$-\arcsin 0.8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n$$