ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{8\cos x-3}{3\cos x+2}=1$

б) $\frac{3\cos x+1}{2}+\frac{5\cos x-1}{3}=1,75$

а) $\frac{8 \cos x — 3}{3 \cos x + 2} = 1 \quad | \cdot (3 \cos x + 2)$;

$$8 \cos x — 3 = 3 \cos x + 2;$$ $$5 \cos x = 5;$$ $$\cos x = 1;$$ $$x = 2 \pi n;$$

Ответ: $x = 2 \pi n$.

б) $\frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x — 1}{3} = 1,75 \quad | \cdot 12$;

$$6(3 \cos x + 1) + 4(5 \cos x — 1) = 1,75 \cdot 12;$$ $$18 \cos x + 6 + 20 \cos x — 4 = 21;$$ $$38 \cos x = 19;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$.

а) $\frac{8 \cos x — 3}{3 \cos x + 2} = 1$

Шаг 1: Умножаем обе части уравнения на $3 \cos x + 2$

Для начала избавимся от дроби. Умножим обе части уравнения на $3 \cos x + 2$:

$$\frac{8 \cos x — 3}{3 \cos x + 2} = 1 \quad | \cdot (3 \cos x + 2)$$

Таким образом получаем:

$$8 \cos x — 3 = 3 \cos x + 2.$$

Шаг 2: Переносим все члены, содержащие $\cos x$, на одну сторону

Теперь переносим все члены, содержащие $\cos x$, на одну сторону уравнения, а остальные на другую:

$$8 \cos x — 3 = 3 \cos x + 2 \quad \Rightarrow \quad 8 \cos x — 3 \cos x = 2 + 3.$$

Упрощаем:

$$5 \cos x = 5.$$

Шаг 3: Находим значение $\cos x$

Теперь разделим обе части уравнения на 5:

$$\cos x = 1.$$

Шаг 4: Решаем для $x$

Значение $\cos x = 1$ достигается при $x = 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как функция косинуса имеет период $2\pi$.

Ответ: $x = 2\pi n$.

б) $\frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x — 1}{3} = 1,75$

Шаг 1: Умножаем обе части уравнения на 12

Для удобства работы с дробями умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):

$$\left( \frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x — 1}{3} \right) = 1,75 \quad | \cdot 12$$

Получаем:

$$6(3 \cos x + 1) + 4(5 \cos x — 1) = 1,75 \cdot 12.$$

Выполним умножение:

$$6(3 \cos x + 1) = 18 \cos x + 6,$$ $$4(5 \cos x — 1) = 20 \cos x — 4,$$

и правая часть:

$$1,75 \cdot 12 = 21.$$

Таким образом, уравнение становится:

$$18 \cos x + 6 + 20 \cos x — 4 = 21.$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Теперь упростим уравнение, собрав все члены с $\cos x$ и числа:

$$18 \cos x + 20 \cos x + 6 — 4 = 21 \quad \Rightarrow \quad 38 \cos x + 2 = 21.$$

Теперь переносим 2 на правую сторону:

$$38 \cos x = 21 — 2 = 19.$$

Шаг 3: Находим значение $\cos x$

Теперь делим обе стороны уравнения на 38:

$$\cos x = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 4: Решаем для $x$

Известно, что $\cos x = \frac{1}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{3}$ на интервале $[0; 2\pi]$. Так как косинус периодичен, общее решение будет:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $x = 2\pi n$

б) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$